Решение задач устойчивости методом Ритца
Пример 11.12. Определим критическую нагрузку для стержня постоянного сечения, нагруженного только собственным весом q (см. рис. 11.3, а). В качестве формы потери устойчивости примем двучлен. Где й, й2… й" — неопределенные параметры; ф,(х), ср2(х),…, ф"(л') — функ ции, удовлетворяющие всем или некоторым граничным условиям. Кроме того, они должны быть непрерывными и гладкими. После составления… Читать ещё >
Решение задач устойчивости методом Ритца (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Рис. 11.18. Расчетные схемы для упражнений 11.4,11.5.
В основу метода Ритца положено свойство потенциальной энергии упругой системы — в состоянии устойчивого равновесия потенциальная энергия упругой системы имеет минимальное значение, т. е. для центрально сжатых стержней При определении энергии форму упругой кривой рекомендуется принимать в виде ряда.
где й, й2…й" — неопределенные параметры; ф,(х), ср2(х),…, ф"(л') — функ ции, удовлетворяющие всем или некоторым граничным условиям. Кроме того, они должны быть непрерывными и гладкими.
После составления выражения для энергии, определяющейся формулой Э =/(й, й2, …, й", FKp), из условия минимума потенциальной энергии подбираются значения параметров а;.
В результате получается система однородных алгебраических уравнений относительно а:. Как обычно в этих случаях, для получения уравнения устойчивости составляется определитель из коэффициентов при неизвестных й,. Далее, раскрывая определитель, находят критический параметр.
Пример 11.12. Определим критическую нагрузку для стержня постоянного сечения, нагруженного только собственным весом q (см. рис. 11.3, а). В качестве формы потери устойчивости примем двучлен.
Решение.
С целью оценки скорости сходимости решения выполним сначала расчет в первом приближении, т. е. с одним членом. Выражение для энергии имеет вид 
Вычислим и подставим производные:
Далее составим уравнение типа (11.22):
Из этого выражения определяется критическая нагрузка:
Расхождение с точным значением — 6%.
Для уточнения решения выполним второе приближение с двумя членами. Выражение энергии для второго приближения имеет следующий вид:
Далее, получив два уравнения типа (11.51), составим определитель второго порядка, раскроем его и придем к квадратному уравнению.
?/.
Решение квадратного уравнения дает q = (35,223 ± 27,291)—. Возьмем наи;
EI EI
меньший корень q = 7,932—, или qK[J = 7,932—.
Расхождение с точным значением — 1,3%, что свидетельствует о хорошей сходимости решения.
Упражнение 11.6. Определите критическую силу для стержня постоянного сечения (см. рис. 11.2, а) методом Ритца, используя функцию у (х) = юс
= я, sin—.