Следствия теорем сложения и умножения вероятностей

Теорема сложения вероятностей совместных событий

1. Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без учета вероятностей их совместного появления.

При использовании формулы следует иметь в виду, что события А и В могут быть как независимыми, так и зависимыми.

Если Aw В независимые события, то а для зависимых событий.

Для трех совместных событий А, В и С имеет место.

Пример 3.21. На экзамен пришли два студента. Вероятность того, что первый студент сдаст экзамен, составляет 0,9, а второго — 0,8. Найти вероятность того, что хотя бы один из них экзамен сдаст?

Решение. Пусть событие А заключается в том, что первый студент сдаст экзамен, а событие В — второй студент сдаст экзамен. В задаче требуется найти вероятность суммы событий А+В, причем эти события совместны, так как возможна ситуация, когда оба студента сдадут экзамен. Используя формулы (3.9) и (3.10) для вероятностей совместных событий и предполагая независимость этих событий, имеем:

Пример 3.22. В посевах пшеницы на поле 92% здоровых растений. Берут любые два растения. Найти вероятность того, что хотя бы одно из них здоровое.

Решение. Обозначим события: А — здорово первое растение, В — здорово второе растение. Поставлена задача найти вероятность суммы событий А+В, при этом события независимы и совместны (возможна ситуация, когда оба растения окажутся здоровыми). По формуле (3.9) и (3.10) вычислим вероятность того, что хотя бы одно из растений здоровое.

Пример 3.23. Вероятности поражения цели первым и вторым стрелками равны соответственно 0,7 и 0,8. Найти вероятность поражения цели при одном залпе хотя бы одним стрелком.

Решение. Вероятности поражения цели стрелками не зависят от результатов стрельбы каждого из них, поэтому события А (поражение цели первым стрелком) и В (поражение цели вторым стрелком) независимы, причем эти события совместны. По формулам (3.9) и (3.10) вычислим искомую вероятность.

Пример 3.24. В аптечке 4 упаковки аспирина и 6 фурацилина. Какова вероятность извлечения хотя бы одной упаковки аспирина, если вынуты 2 упаковки?

Решение. Пусть событие А состоит в том, что будет вынута упаковка аспирина при 1 -м изъятии, событие В — при 2-м.

События А и В — совместны, т.к. возможна ситуация, когда в обоих упаковках может окажется аспирин. При этом эти события нельзя считать независимыми, поскольку их вероятности зависят от того, произошли эти события или нет. По формулам (3.9) и (3.11) найдем искомую вероятность.