Сюжет «Жива Маргарита или нет.. .», продолжение

Вернемся к примеру «жива или мертва Маргарита» и попытаемся найти для него равновесие по Байесу —Нэшу. В силу конкретных значений платежных матриц игроков в данной игре (см. табл. 9.1) мы можем однозначно утверждать, что наилучшими ответами игрока 2 (независимо от его конкретного типа) будут:

• • стратегия (действие) С на стратегию И игрока 1;
• • стратегия (действие) Н/С на стратегию Н/И игрока 1^[1].

В таком случае нам остается выяснить, при каких представлениях 1-го игрока о типах второго, определяемых вероятностями (, ), ему следует играть И (и следовательно, будет реализовываться равновесие (И, С)), а при каких — Н/И (будет реализовываться равновесие (Н/И, Н/С)). Для этого сопоставляем ожидаемые полезности игрока 1 в обеих ситуациях. Если он играет И, а второй ему отвечает С, то ожидаемая полезность игрока 1 составит.

(9.4).

В случае если первым игроком играется Н/И, а второй отвечает Н/С, то ожидаемая полезность игрока 1 составит.

(9.5).

Сопоставляя выражения (9.4) и (9.5), приходим к тому, что стратегию И игроку 1 (Алисе) следует играть, если.

Таким образом, в сюжете «Жива или мертва Маргарита» равновесие, но Байесу— Нэшу имеет следующий вид.

• • Если в соответствии с представлениями игрока 1 (Алисы) вероятность того, что ее оппонент (игрок 2) является «настоящей Маргаритой», ³ ½, то равновесной оказывается ситуация (И, С) — «Алиса ищет, Маргарита сообщает» .
• • В противном случае (вероятность подлинности Маргариты меньше ½) равновесная ситуация имеет вид (Н/И, Н/С) — «Алиса не предпринимает действий по активным поискам, Маргарита не выходит на связь» .

* * *.

Следует обратить внимание на то, что в байесовой игре фактор неполноты информации влияет на выбор стратегий даже теми игроками, которые обладают полной информацией.

Действительно, каждый игрок, невзирая на то, что он сам знает собственный тип, должен принимать во внимание то, что другим игрокам это неизвестно. Следовательно, они оптимизируют свои действия относительно множества всех его допустимых типов с учетом своих представлений о вероятности их реализации. Сам игрок, принимая это во внимание, должен задумываться над тем, что от него «ждут» другие, т. е. чтобы он стал делать, если бы принадлежал к другому типу. Таким образом, игрок 2 в нашем примере, зная о себе, «Маргарита он или нет», должен также учитывать, что Алисе это неизвестно. Стала бы задумываться об этом «реальная» Маргарита в реальной жизни? Это, конечно, непростой вопрос, но ответ на него не имеет отношения к байесовым играм.

Добавим также, что проявления эффектов, возникающих вследствие неполноты информации, нам нередко приходится наблюдать в повседневной жизни (например, новый сотрудник, приходя в «устоявшийся» коллектив, как правило, старается вести себя скромно, сдержанно, настороженно). Это вполне объяснимо с позиций логики «я, конечно, знаю, что я хороший, но они-то об этом еще не знают!» Кстати, использование иной стратегии одним из наших героев — Василием Ивановичем Чаплиным — закончилось для него не очень успешно.

Сюжет «Выбор подарка Маргарите», продолжение

Иллюстрация основной идеи альтернативной интерпретации смешанных стратегий представлена на рис. 9.1.

Вспомним, что в игре «Выбор подарка Маргарите» существуют два равновесия по Нэшу в чистых стратегиях:

• • (Шарфу Шарф) — более «симпатичное» Алисе, так как выбирается ее вариант подарка;
• • (Навигатор, Навигатор) — более приятное для Дарины.

Внесем в исходную модель дополнительные предпосылки, трансформирующие ее в байесову игру. Предположим, что «удовольствие» Алисы при выборе се варианта подарка задается не величиной (+2), а определяется, как 2 + , где  — случайная величина, распределенная с плотностью Р_A на промежутке Т_А (см. рис. 9.1). Другими словами, интервал Т_А является пространством типов игрока 1, из которого с вероятностью, определяемой законом распределения Р_А, реализуется конкретное значение типа

Рис. 9.1. Альтернативный взгляд на смешанные стратегии (на примере игры «Выбор подарка Маргарите»).

По существу, чем больше тем сильнее удовольствие Алисы от ситуации, когда выбирается ее вариант подарка. Второй игрок (Дарина) обладает информацией о плотности Р_A. Это, собственно говоря, и означает выполнение требования о том, что игроки имеют представления о типах друг друга. Обычно в моделях подобного вида типы считаются случайными величинами, равномерно распределенными на интервале Т_А. Если вернуться к «языку» описываемого сюжета, то внесенные дополнения означают, что Дарина знает наверняка, что удовольствие Алисы при выборе Шарфа точно будет (+2) плюс некоторая добавка. Более того, Дарина догадывается, в каких пределах и приблизительно с какой вероятностью находится значение этой добавки.

В симметричном положении находится и Алиса. Она также знает, что удовольствие Дарины при выборе Навигатора — это (2 + t₂), где t₂ ^— тип игрока 2 (Даримы) — случайная величина, распределенная на промежутке Т_D по закону Р_D. Плотность Р_D задает представления Алисы о типах Дарины.

Разумным представляется подход, при котором ищутся не просто равновесия в игре, а равновесия, образуемые стратегиями с некоторой изначально заданной структурой. А именно, предлагается рассматривать стратегии следующего вида.

Алиса:

• • играет Н (стратегию из «Дарининого» равновесия), если ее тип t₁? , где Т_A — некоторое пороговое значение, т. е. Алиса «любит» свой вариант Ш недостаточно сильно и готова от него отказаться;
• • играет Ш, если t₁ > — приверженность к своему варианту настолько сильна, что от него невозможно отказаться.

Аналогично, Дарина:

• • играет Ш (стратегию из «Алисиного» равновесия), если ее тип t₂? , где Т_D — некоторое пороговое значение;
• • играет Н, если t₂ > .

Можно показать, если длины интервалов Т_А и Т_D стремятся к нулю (½Т_А½ ® 0, ½ Т_D ½®0), то.

где ((p*, 1 — р*), (q*, 1 — q*)) — равновесие в смешанных стратегиях в исходной статической игре (с полной информацией). Другими словами, по мере снижения степени неполноты информации («сужения» пространства возможных типов игроков) поведение игроков в ситуации равновесия по Байесу — Нэшу в чистых стратегиях в игре с неполной информацией приближается к их поведению в ситуации равновесия по Нэшу в смешанных (рандомизированных) стратегиях в игре с полной информацией.

Данная (альтернативная) интерпретация смешанных стратегий была предложена Дж. Харшаньи (см. работу [28]).

Рассмотрим еще один возможный подход к решению проблемы выбора между равновесиями (Ш, Ш) и (Н, Н) при выборе подарка Маргарите. Обратим внимание на одну деталь. Отстаивая свои позиции, как Алиса, так и Дарина в неявной форме апеллируют к известной им информации о вкусах их подруги Маргариты, т. е. к сигналам, ранее полученным от Маргариты. «Я знаю Марго уже десять лет и, поверь, ее вкус я угадать смогу! Любимый цвет — оранжевый, любимый сок — апельсиновый, любимый запах — Hugo Boss Orange. Просто, как апельсин» , — без комплексов и колебаний заявляет Алиса. У Дарины тоже есть вполне четкая картина того, чего не хватает Рите до полного счастья.

Если несколько формализовать ситуацию, то мы получаем следующую модель. Природа (в данном случае природа Маргариты) может генерировать сигналы трех видов относительно предпочтительного подарка (рис. 9.2):

• • «полезный» с вероятностью ;
• • «оригинальный» с вероятностью ;
• • «красивый» с вероятностью .

Несколько приукрасив грубую действительность, посчитаем, что Алиса и Дарина способны как лица, имеющие экономико-математическое образование, давать количественные оценки вероятностям происходящих вокруг них событий.

Рис. 9.2. Определение коррелированного равновесия (на примере игры «Выбор подарка Маргарите»).

Исходя из наших представлений о характере героинь, несложно предположить, что Алиса ответ «оригинальный» воспримет скорее как синоним для слова «красивый», а Дарина, естественно, как «то же самое, что и полезный». Эта специфика может быть учтена за счет введения в модель допущения о различном восприятии разными игроками сигналов Природы.

Будем полагать, что Алиса посылаемые ей сигналы воспринимает как «либо точно известно, что Маргарита хочет полезный подарок, либо можно выбирать по своему усмотрению». Дарина, в свою очередь убеждена, что если открытым текстом не сказали «к-р-а-с-и-в-ы-й», то нужно искать какую-то нужную в хозяйстве вещь! Иначе говоря, в рамках описываемой игровой модели Алиса лишена возможности различать второй и третий сигнал Природы и воспринимает их как один, а Дарина не различает первый и второй сигналы.

В этих условиях разумно предположить, что стратегия игрока 1 (Алисы) будет состоять из следующих действий:

• • — выполняется при получении сигнала 1 («полезный»);
• • — выполняется при получении сигнала 2 или 3 («оригинальный» или «красивый»).

Стратегия игрока 2 (Дарины) будет состоять из следующих действий:

• • а`₂ — выполняется при получении сигнала 1 или 2 («полезный» или «оригинальный»);
• • а``₂ — выполняется при получении сигнала 3 («красивый»).

Соответственно, каждый игрок должен выбирать свою стратегию наилучшим образом относительно любой фактической реализации полученного им сигнала и выбора стратегии, сделанного другим игроком.

Равновесие, образуемое стратегиями, удовлетворяющими сформулированному требованию, получило название коррелированного равновесия.

В нашем примере игрок 1 (Алиса) свою стратегию , применяемую при получении 2-го или 3-го сигнала, должен выбирать наилучшим образом в предположении, что игрок 2 (Дарина) играет свои стратегии а`<sub>2</sub> с вероятностью — , а``<sub>2</sub> с вероятностью , а игроку 2 (Дарине) свою стратегию а`₂, применяемую при получении 1-го или 2-го сигнала, следует выбирать наилучшим образом в предположении, что игрок 1 (Алиса) играет стратегии а`₁ с вероятностью .

Рассмотрим равновесный выбор стратегий в предположении, что 1-й сигнал («полезный») «побуждает» Алису играть Н (а`<sub>1</sub>= {Н}), а 3-й сигнал («красивый») воспринимается Дариной как необходимость играть III (а``<sub>2</sub> = {III}). Тогда, если Дарина полагает, что ответом Алисы на 2-й и 3-й сигналы будет Ш (она и сама собирается играть Ш в ответ на 3-й сигнал), ей следует выбирать свою стратегию а`₂ исходя из сопоставления значений.

— ожидаемая полезность при игре Ш и.

— ожидаемая полезность при игре Н. В результате получаем, что Дарине в ответ на 1-й и 2-й сигналы («полезный» и «оригинальный») следует выбирать.

(9.6).

т.е. если вероятность получения сигнала «полезный» () «достаточно весома» по отношению к вероятности получения сигнала «оригинальный» (), Дарине нужно настаивать на своем варианте Навигатор, в противном случае соглашаться на Алисин Шарф.

Аналогично, в рамках сделанных предположений реакция Алисы на 2-й и 3-й сигналы находится из сопоставления ее ожидаемых полезностей при игре Ш и Н против Дарининых а`₂ = {Н}, играемой с вероятностью p₂/(p₂ + ), и а``₂ = {Ш}, играемой с вероятностью /()" Получаем, что Алиса должна играть.

(9.7).

что означает необходимость отдавать предпочтение Шарфу при «достаточно большой» величине вероятности получения сигнала «красивый» .

Из условий (9.6) и (9.7), в частности, следует, что коррелированное равновесие вида:

• • Алиса играет Н при сигнале «полезный» и Ш при остальных сигналах;
• • Дарина играет Ш при сигнале «красивый» и Н при остальных сигналах —

возможно только при условии, что вероятность получения сигнала «оригинальный» .

По существу, коррелированное равновесие — это равновесие, инспирируемое некоторыми внешними сигналами, «подсказывающими» игрокам (пусть и с определенной долей погрешности), какие стратегии им следует выбирать.

Например, к коррелированному равновесию в игре «семейный спор» можно прийти, если ее участники будут предварительно наблюдать сообщения от некоторого генератора случайных величин (например, подбрасывать монетку) и по результатам данного случайного эксперимента согласованно играть одно из двух равновесий в чистых стратегиях: (Ф, Ф) или (Б, Б).

Более подробную информацию о коррелированном равновесии, и в частности о его строгом определении и свойствах, заинтересованный читатель может найти, например, в работе [13].

• [1] Напомним, что в данном примере для игрока 1 действия совпадают со стратегиями