Вычисление двойных интегралов

Сведение двойного интеграла к повторному

В вычислении двойных интегралов основную роль играет теорема о сведении двойного интеграла к повторному, т. е. о возможности дважды применить процесс обычного интегрирования.

Теорема 17.3. Пусть функция/(х, у) определена и интегрируема в области D, ограниченной снизу и сверху двумя непрерывными кривыми у = у_] (х) и у = у₂(х), причем у у (х) <1 у? у₂ (х), а? х й b (рис. 17.3). Пусть также для каждого х е [а, Ь существует определенный интеграл.

Рис. 17.3.

Тогда существует повторный интеграл и справедливо равенство:

Доказательство этой теоремы мы опускаем. ?

Отметим частный случай прямоугольной области D> т. е. у,(х) = с, у₂{х) s d тогда сведение двойного интеграла к повторному имеет наиболее простой вид:

Приведем примеры вычисления двойных интегралов.

Данный интеграл нужно вычислить по прямоугольной области. Согласно формуле (17.5) имеем:

Пример 2. JJjrjcdxd^: область D ограничена линиями х² + у² = 4, х + у —

D

— 2 = 0.

Область D заключена между прямой у_{ = 2 — х и частью верхней полуокружности радиуса 2: .У? =v⁴«*² (рис. 17.4); точки пересечения этих линий (0, 2) и (2,0) Следовательно, область интегрирования Z) = jo2-х<�у<^4-х² J. По формуле (17.4) данный двойной интеграл сводится к повторному интегралу:

Здесь при интегрировании второго слагаемого в квадратных скобках была использована замена переменной t = 2 — х.

Рис. 17.4.

Пример 3. JJsin (х + y)6xdy₉ область D ограничена линиями х = у, х + у = -,.

о ^.

У^ж 0.

Здесь область интегрирования представляет собой треугольник, одна сторона которого длиной — лежит на оси Ох, а две другие, уравнения которых соотвст- 2.

ствснно у = х и y-n/2-x, пересекаются при х = п/4 (рис. 17.5). Стало быть, область интегрирования разбивается на два треугольника D_{ и D₂, и согласно свойству аддитивности 2 данный интеграл является суммой двойных интегралов с областями интегрирования соответственно Z), и D₂.

Рис. 17.5.