Ординалистская (порядковая) полезность: предпочтения потребителя

Кардиналистская модель полезности позволила экономистам лучше разобраться в мотивах и особенностях поведения потребителей и, как выяснилось позже, уже в середине XX в., далеко не исчерпала себя. Во многих случаях, когда связь между выбором потребителя и результатами его действий носит случайный, часто непредсказуемый, характер (например, игры, лотерея и т. п.), модель, основанная на возможности количественного измерения полезности, оказалась наиболее приемлемой^[1].

Неудачные попытки измерения во многом субъективной полезности с помощью абсолютной шкалы, точной, строгой меры, заставили экономистов начиная с конца XIX в. искать альтернативные способы анализа потребительского поведения и спроса.

Теория поведения потребителей была переосмыслена с позиций потребительских предпочтений. Функцию полезности стали рассматривать лишь как способ описания предпочтений.

Построение системы потребительских предпочтений. Кривые безразличия и их свойства

Суть подхода, получившего название ординалистского (порядкового),.

в том, что для выбора потребителя полезность товаров (или наборов) важна только в плане сравнения: больше, меньше, равна. А на сколько больше или меньше — значения не имеет.

Заметим, кстати, что ординалистский подход не исключает возможности присвоения полезностям товарных наборов численных значений.

Но единственный смысл такого присвоения — ранжировать товарные наборы по предпочтительности. Способы приписывания каждому товарному набору своего числового значения могут быть разными. Более того, если найден один способ присвоения товарным наборам численных значений, то можно утверждать, что таких способов может быть сколько угодно.

Допустим, потребитель предпочитает товарный набор А набору В, который, в свою очередь, предпочитается набору С. Тогда самый простой способ ранжирования состоит в том, чтобы присвоить набору С 1-й ранг, В — 2-й ранг, А — 3-й ранг и т. д. Эти ранги и будут означать условный (относительный) уровень полезности. У равно предпочитаемых потребителем наборов должен быть одинаковый ранг (численное значение). Например, если какой-то набор D равноценен набору В, то и ему должен быть присвоен 2-й ранг. Тем же наборам могут быть присвоены случайные цифры. Важно только, чтобы более предпочтительные наборы имели большее числовое значение. Например, у набора С это может быть число 3, у наборов В и D — число 7, у набора А — 15 и т. д.

Наконец, ранги могут быть выражены отрицательными числами. Например, у набора С ранг может быть -7, у наборов В и D—4, у набора А—2.

Числовые значения могут иметь целую и дробную части или же только дробную.

Каждое начальное приписывание числовых значений разным товарным наборам может быть монотонно преобразовано. Например, путем перемножения всех исходных числовых значений на любое положительное число.

Если U (X) — функция полезности в ординалистском смысле, то монотонно преобразованная функция вида N[U (X)], где N — любое положительное число, также будет функцией полезности. Если при этом функция U (X) имела большее значение, чем функция U (Y), то и функция N[t/(X)] будет иметь большее значение, чем функция N[U (Y)|.

Другие примеры монотонных преобразований:

• • добавление любого числа (положительного или отрицательного). Если U (X) > U (Y), то U (X) + N> U (Y) + N;
• • возведение исходной функции полезности в нечетную степень. Если U (X) > U (Y), то U (X)U> U (Y)M, при том что N — нечетное число.

Если /(t/) — монотонная функция от исходной функции полезности U, то она выражает те же самые предпочтения потребителя.

Упорядочение потребительских товарных наборов по степени их предпочтительности базируется на нескольких предположениях (аксиомах).

1. Аксиома полной (совершенной) упорядоченности предполагает, что потребитель определился в своих предпочтениях. Это значит, что в отношении любой произвольно выбранной пары наборов он может сказать, что-либо набор А для него предпочтительнее набора В (А>- В), либо, наоборот, В >- А, либо оба набора для него равноценны (А ~ В). Единственное, что он не может сказать, так это «не знаю».

Отметим, что предпочтения не имеют отношения к ценам и размерам бюджета потребителя. Потребитель может предпочитать мясо и фрукты, но вынужден покупать хлеб и картошку, потому что они дешевле и «укладываются» в его бюджет.

2. Аксиома транзитивности, или согласованности, предпочтений.

Таким образом, исключается, например, ситуация, когда потребитель скажет, что он предпочитает набор А — набору /?, набор В — набору С, набор С — набору А.

Аксиома транзитивности включает и еще одно утверждение: если А ~ ~ В ~ С, то А ~ С.

Данная аксиома позволяет однозначно ранжировать все возможные наборы независимо от очередности их попарного сравнения.

• 3. Аксиома рефлексивности говорит о том, что при наличии двух одинаковых наборов потребитель считает, что любой из них не хуже другого. По сути, речь идет об одном и том же наборе.
• 4. Аксиома ненасыщения. Если в каком-то наборе содержится не меньшее количество каждого товара, чем в других наборах, а одного товара строго больше, то данный товарный набор для потребителя предпочтительнее других. Если

На самом деле при достижении точки насыщения «больше» может означать «хуже». Однако в большинстве случаев анализа поведения потребителей данное предположение может считаться оправданным.

5. Аксиома независимости потребителя. Считается, что предпочтения потребителя и уровень его удовлетворенности зависят только от его собственных ощущений и уровня его потребления и не зависят от уровня потребления и предпочтений других лиц.

Данная аксиома не является обязательной, в некоторых случаях от нее можно отказаться.

С учетом сделанных предположений можно сформулировать задачу поведения потребителя. Она сводится к выбору потребителем наиболее предпочтительного товарного набора из всех ему доступных.

Предпочтения потребителя в отношении наборов, состоящих из разного количества двух благ (X и У), можно представить графически (рис. 2.1)^[2].

Наборы, к которым потребитель относится как к равнопредпочтительным (равным по полезности), или, иначе, — равноценным, образуют кривую безразличия (1C — indifference curve).

Кривая безразличия, проходящая через какой-либо товарный набор, состоит из наборов, равпопредпочтительных данному^[3].

Наборы разной предпочтительности принадлежат к разным кривым безразличия. Совокупность возможных кривых безразличия образует карту кривых безразличия.

Кривые безразличия представляют собой геометрический способ задания функция полезности.

Все наборы, находящиеся на одной кривой безразличия, обладают одинаковой полезностью. Естественно, что разным кривым безразличия приписываются разные уровни полезности. Вся функция общей полезности (TU или U) математически определяется выражением U = f (X_yY). Уравнение п-й кривой безразличия — это U_n = f (X_yY), где U_n — уровень общей полезности, одинаковый для всех наборов, принадлежащих этой кривой безразличия. В ординалистской функции полезности величины U отражают только структуру порядковых предпочтений, а не точные, строгие количественные значения, присущие функции полезности кардиналистского типа.

Рис. 2.1. Карта кривых безразличия.

Монотонное преобразование функции полезности, заданной в геометрической форме, означает всего лишь численное переименование кривых безразличия. Сами же предпочтения потребителя при этом остаются прежними

Карте кривых безразличия присущи некоторые свойства.

Свойство А. Кривые безразличия, лежащие выше и правее, объединяют более предпочтительные товарные наборы.

Рассмотрим график на рис. 2.2.

На нем представлены две кривые безразличия — 1С_{ и /С₂. Возьмем на каждой кривой по набору гак, чтобы в каждом из них было одинаковое количество одного товара, например Y (наборы В и А). Про эту пару наборов можно сказать, что А> В, так как в наборе А при равном количестве товара Y содержится больше товара X (см. аксиому ненасыщения).

Теперь выберем произвольно набор на кривой 1С_{, например набор С.

Поскольку АуВ, а В ~ С (как наборы, лежащие на одной кривой безразличия), то по аксиоме транзитивности получается, что АуС. Так как^[4]

набор С был взят абсолютно произвольно, значит, доказано, что набор А с более удаленной от начала координат кривой безразличия (1С₂) предпочтительнее любого набора с более близкой кривой (/С,).

Рис. 2.2. Кривые безразличия, лежащие выше и правее, предпочтительнее.

Осталось доказать, что любой набор с кривой 1С₂ предпочтительнее любого набора с кривой 1С_Х.

Для этого опять произвольно возьмем любой набор на кривой 1С₂, например набор D. Так как он равноценен набору A (D и А лежат на одной кривой безразличия), а набор Л, как мы уже установили, предпочтительнее любого набора с кривой /С₁₍ то из аксиомы транзитивности опять вытекает, что и набор D также предпочтительнее любого набора с кривой 1C у. Поскольку набор D был выбран абсолютно произвольно, постольку и любой другой набор с кривой безразличия, лежащей выше и правее (1С₂), предпочтительнее любого набора с нижележащей кривой (1С_Х).

Свойство В. Кривые безразличия не пересекаются.

Если бы это было не так (рис. 2.3), то тогда получалось бы, что по аксиоме ненасыщения набор А предпочтительнее набора С {А>С), так как содержит больше товара Y при одинаковом количестве товара X. А по аксиоме транзитивности они должны быть равноценны: А ~ В — как лежащие на одной кривой (1С₂), а В ~ С — как лежащие на одной кривой (1С_Х) => => А ~ С, что противоречит первому утверждению, что А >С.

Рис. 2.3. Кривые безразличия не пересекаются 38.

Свойство С. Через любой набор в пространстве двух товаров может быть проведена своя кривая безразличия (или каждый набор в пространстве двух товаров принадлежит к какой-либо кривой безразличия).

Это свойство означает, что для любого произвольно выбранного в пространстве двух товаров набора можно найти равноценный (-е) набор (-ы).

Если это только не случай совершенных комплементов, то, сокращая потребление одного товара в наборе, потребитель может найти такое количество другого товара, которое равноценно заменит ему «потерю» первого товара. Иногда еще говорят, что кривые безразличия не имеют толщины. Если бы это было не так (рис. 2.4), то на такой «толстой» кривой можно было бы найти как минимум два неравноценных набора, например А и В: А У В, так как в А содержится больше как одного товара, так и другого.

Рис. 2.4. Кривые безразличия не имеют толщины

Следует заметить, что если бы все возможные кривые безразличия были нанесены на график, то они расположились бы так тесно друг к другу, что слились бы и заполнили собой все пространство между осями.

Свойство D. Кривые безразличия имеют отрицательный наклон (если только один из товаров не является антиблагом).

Допустим, однако, что кривая безразличия хотя бы на каком-то одном участке имеет положительный наклон (рис. 2.5).

Рис. 2.5. Кривые безразличия не могут иметь положительный наклон

Как лежащие на одной кривой безразличия, наборы Ли В должны быть равноценны. Но по аксиоме ненасыщения получается, что А У В, так как в наборе А больше обоих товаров, чем в наборе В.

В принципе кривые безразличия могут быть и вертикальными, и горизонтальными (целиком или лишь на некоторых участках), и даже иметь положительный наклон, но только в том случае, если мы откажемся от аксиомы ненасыщения (см. параграф 2.2). В большинстве же случаев речь идет о стандартных предпочтениях.

Свойство Е. В случае стандартных предпочтений кривые безразличия выпуклы к началу координат (или иначе — выпуклый вниз).

Как мы отмечали, путем замещения некоторого количества одного товара (например, ДУ) некоторым количеством другого товара (АХ) потребитель имеет возможность поддерживать постоянный уровень удовлетворения полезности.

Если кривая безразличия выпукла к началу координат, то это отношение, называемое нормой замещения, будет убывать (рис. 2.6).

Это и неудивительно, поскольку с увеличением количества блага X и уменьшением количества блага У нормальный потребитель станет больше ценить уменьшающееся в объеме благо и относительно меньше ценить благо увеличивающееся.

Другими словами, когда у потребителя много блага Y и мало блага X (в наборе А), тогда он готов за дополнительное количество блага X уступить сравнительно большое количество блага Y. Когда блага Y у потребителя сравнительно мало, а блага X уже много (в наборе D), тогда он готов обменять на дополнительную порцию блага X лишь малое количество блага У.

Рис. 2.6. Кривые безразличия выпуклы к началу координат Отношение принято называть предельной нормой замены (заме.

щения) MRS_xy (marginal rate of substitution), если оно показывает, на сколько единиц товара Y (AY) должен сократить свое потребление индивид в обмен на увеличение потребления другого товара Х (АХ) на единицу при сохранении достигнутого уровня удовлетворения потребностей:

Для случая непрерывной функции, когда АХ —> 0, предельная норма замены может быть представлена как предел функции в какой-то точке кривой безразличия:

Геометрически предельная норма замены интерпретируется как угловой коэффициент наклона касательной, проведенной к кривой безразличия в соответствующей точке.

Следует заметить, что приращения двух товаров (AY и АХ или ЭК и ЭХ) имеют разные знаки (количество одного товара уменьшается, другого увеличивается), потому, чтобы правильно оценивать направление изменения предельной нормы замены (убывает она или возрастает), перед дробью ставят знак «минус».

По мере продвижения по кривой безразличия вправо вниз предельная норма замены, как и абсолютное значение углового коэффициента касательной, убывает.

Закономерный характер уменьшающейся предельной нормы замены, выявленный нами при ординалистском подходе (в случае стандартных предпочтений), имеет тот же смысл, что и закон снижающейся предельной полезности в кардиналистской теории. Но вместо измерения полезности в абсолютных единицах (например, ютилях), при порядковом подходе сравнение полезностей дополнительных единиц товарных благ происходит через их объемы.

Величина предельной полезности зависит от величины общей полезности. Следовательно, при ординалистском подходе она зависит от конкретного способа приписывания численных значений функции полезности.

Например, умножение на положительное число исходной функции полезности изменяет только масштаб. На это же число окажется умноженной и предельная полезность.

Если потребитель имеет некоторый товарный набор (X, К), то при очень небольшом увеличении потребления одного товара, например товара X (ЭХ), отношение приращения общей полезности (Э/7) к этому изменению товара X можно рассматривать как предельную полезность товара X:

Отсюда имеем dU = MU_X • ЭХ.

Точно так же можно найти предельную полезность товара К:

Отсюда dU = MU_Y • ЭК.

Поскольку общее изменение полезности должно равняться нулю (dU = = 0), то.

Преобразуя последнее выражение, получим Итак:

Этот же результат можно получить, используя дифференциальное исчисление. Если U (X, Y) непрерывная однородная функция, то ее полный дифференциал равен.

Изменение функции общей полезности должно быть равно нулю (dU = 0).

_т * dY

1 еперь выразим —— как иХ

Следует заметить, что предельная норма замены имеет смысл только в рамках каждого определенного уровня полезности (т.е. только при перемещении по кривой безразличия).

Учитывая взаимозависимость Y и X, каждую кривую безразличия можно представить как функцию Y = /(X) или, наоборот, X = /(У) при фиксированном значении уровня полезности.

• [1] Подробнее см.: Экономическая школа. 1992. Вып. 2. С. 79—87.
• [2] Выводы, сделанные в отношении двух товарных наборов, нетрудно будет распространить на наборы, включающие любое число разных товаров.
• [3] Первым ввел кривые безразличия в анализ поведения потребителя на рынке английский экономист Ф. Эджворт в 1881 г.
• [4] Построение карты кривых безразличия можно представить следующим образом. Функция полезности от потребления двух товаров представляет собой «холм», рассматриваемыйв трехмерном пространстве. На абсциссе и ординате откладываются количества двух товаров (X и У)" а аппликата показывает уровень полезности (даже если нет абсолютной шкалы ееизмерения). Таким образом, в основании холма все возможные сочетания количеств двухтоваров представляют собой различные товарные наборы. Уровень полезности каждогонабора определяется высотой перпендикуляра из точки каждого набора до поверхности"холма". «Нарезая холм» по аппликате, на поверхности холма получаем концентрическиеокружности, которые будут объединять множества товарных наборов, имеющих одинаковый уровень полезности. Эти окружности и будут представлять собой семейство кривых безразличия. Но только часть этих окружностей, находящаяся в левой нижней четверти, будетсоответствовать эффективному потреблению благ. Именно эта часть кривых безразличияи изображена на рис. 2.1 при взгляде на «холм» сверху. И именно эта часть кривых безразличия обладает доказываемыми свойствами.