Развитие модели EOQ с учетом временной стоимости денег

Дальнейшее развитие учета временной стоимости денег в классической модели EOQ может быть достигнуто за счет учета следующих факторов^[1]:

• 1) уходящие платежи, связанные с приобретением продукции С_п пр, организацией заказа С₀ и организацией транспортировки С₀(_пер), хранением С_х, необходимо рассматривать раздельно и в общем случае относить к разным моментам времени;
• 2) уходящие платежи С_п>пр, С₀, С₀(_пер) или С_х при условии их осуществления до момента Т = 0 должны корректироваться с учетом коэффициента:
  • а) если период между поставками Т измеряется в годах, то

где 0 — интервал, отражающий время «предоплаты», годы; г — годовая ставка наращения, действующая на рынке;

6) если период между поставками Т измеряется в днях, то.

где 0 — интервал, отражающий время «предоплаты», дн.;

• 3) уходящие платежи, осуществляемые после окончания интервала Г, должны корректироваться с помощью коэффициента:
  • а) если период между поставками Т измеряется в годах, то

где г — интервал, учитывающий время оплаты после окончания цикла Г, годы; d — значение дисконта;

б) если период между поставками Т измеряется в днях, то.

где г| — интервал, учитывающий время оплаты после окончания цикла Т_} дн.;

4) если центр приведения платежей, определяемый моментом поступления приходящих платежей, будет выбран с отклонением от середины цикла Т/ 2, то это должно быть учтено в формулах (5.151) — (5.154).

Очевидно, что при учете рассмотренных факторов количество возможных вариантов модификаций модели EOQ с учетом временной стоимости денег возрастает многократно, поскольку выплаты, связанные с каждой из четырех рассмотренных составляющих затрат, а именно С_ппр, С₀, С₀(_пср) или С_х, могут происходить в один из пяти моментов времени:

• 1) за время 0 до момента начала цикла Г, т. е. до «пренумерандо»;
• 2) в момент начала цикла, т. е. «пренумерандо», Т = 0;
• 3) в середине цикла Г/ 2;
• 4) в момент окончания цикла Г, т. е. «постнумерандо»;
• 5) через время Г| после окончания цикла Г, т. е. после «постнумерандо»^[2].

Четвертая модифицированная модель EOQ учитывает возможность выплат до «пренумерандо» и после «постнумерандо». Пусть это будет модель EOQ, в которой уходящие платежи, связанные с хранением С_х, организацией заказа С₀ и транспортировкой С_{о (пср)}, осуществляются до момента Т = 0, т. е. до начала цикла выполнения заказа — это означает, что все перечисленные логистические виды деятельности требуют предоплаты. Что касается платежей, связанных с приобретением продукции С_п, то их в данной модели будем соотносить с моментом времени после «постнумерандо», т. е. выплаты осуществляются с отсрочкой после окончания цикла заказа (периода поставки Т). Приходящие платежи — выручку за реализованную партию заказа Q — будем соотносить с серединой каждого периода Г/ 2.

Целевая функция — максимизация годовой прибыли — для четвертой модифицированной модели EOQ с учетом временной стоимости денег будет иметь следующий вид:

где 0! — время предоплаты за организацию заказа предоплаты за транспортировку заказа, дн., 0₂ — время предоплаты за транспортировку заказа, дн.; 0₃ — время предоплаты за хранение заказа, дн.

Следует отметить, что при расчете корректирующих коэффициентов, на которые умножаются уходящие платежи в целевой функции (5.155), величина Д всегда принимается равной количеству календарных дней в году, поскольку г — годовая ставка наращения.

Если в целевой функции (5.155) опустить первое слагаемое, не зависящее от размера заказа Q, а оставшееся выражение умножить на единицу со знаком минус, то задача максимизации прибыли окажется сведенной к эквивалентной задаче оптимизации, а именно к задаче минимизации суммарных затрат на управление запасами, представленной в виде функции:

Теперь, для того чтобы найти оптимальный размер заказа для четвертой модифицированной модели EOQ, произведем ряд последовательных операций.

Прежде всего, перепишем уравнение суммарных затрат (5.156) таким образом, чтобы оно зависело только от размера заказа Q и не зависело от периода между поставками (времени цикла) Т. Для этого воспользуемся известным соотношением, которое позволяет найти количество поставок в течение года двумя способами:

Выразим из формулы (5.157) время цикла Т

и подставим его в уравнение суммарных затрат (5.156). После упрощения уравнение суммарных затрат примет следующий вид.

Немного перегруппируем слагаемые уравнения (5.159) и запишем его в следующем виде.

В представленном выше уравнении (5.160) в квадратные скобки взяты четыре слагаемых затрат, представляющие собой уравнение суммарных затрат классической модели EOQ, расширенное за счет включения затрат на транспортировку и затрат на приобретение продукции:

Следует отметить тот факт, что два дополнительных слагаемых в уравнении суммарных затрат классической модели EOQ не зависят от размера заказа, а потому не влияют на величину его оптимального размера.

Сравнение уравнения суммарных затрат классической модели (5.161), не учитывающей структуру процентных ставок и временную стоимость денег, с уравнением суммарных затрат модифицированной модели EOQ с учетом временной стоимости денег (5.160) свидетельствует о том, что размер заказа модифицированной модели EOQ ?2o_pt будет отличаться от размера заказа классической модели. Проведенные исследования показали, что оптимальный размер заказа модифицированной модели всегда будет больше размера заказа классической модели, т. е. всегда будет справедливо неравенство:

при этом z показывает, во сколько раз оптимальный размер заказа Qopt больше оптимального размера заказа Q_y

Для поиска оптимального размера заказа модифицированной модели введем новую переменную 2, которая связывает между собой величины оптимального размера заказа классической и модифицированной модели следующим образом:

Для нахождения оптимального размера заказа модифицированной модели выполним стандартную операцию, а именно возьмем первую производную функции затрат (5.159) по Q, т.е. найдем dC_z / dQ и приравняем ее нулю

Далее подставим в равенство (5.164) формулу (5.163), а затем умножим его на два:

Умножим равенство (5.165) на z² и перепишем получившееся выражение, упорядочив слагаемые в нем по степеням z.

Подставим формулу (5.19) в равенство (5.164):

Упростим выражение (5.167).

Полученное нами уравнение (5.168) является кубическим уравнением канонического вида.

где коэффициенты соответственно равны:

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

Для решения кубического уравнения, прежде всего, сведем его к «неполному» виду, т. е. когда отсутствует член, содержащий z², выполнив следующую подстановку в уравнение (5.169):

После этого кубическое уравнение примет «неполный» вид:

Поскольку в уравнении (5.169) параметр b = 0, то параметры png в кубическом уравнение «неполного» вида (5.174) будут иметь вид соответственно:

Следует отметить, что р < 0.

Далее для решения воспользуемся решением Кардано, для этого рассчитаем величину G по формуле.

Известно, что если величина G > 0, то кубическое уравнение имеет только один действительный корень; если G = 0, то действительных корней три, причем как минимум два из них совпадают; если G < 0, то кубическое уравнение имеет три различных действительных корня.

В случае если G > 0, единственный действительный корень может быть найден, но формуле Кардано:

В случае если G — 0, действительные корни находятся по формулам:

¹ Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1974. С. 43.

В случае если G < О (гак называемый «неприводимый» случай), для того чтобы нс вести расчеты, включающие комплексные числа, воспользуемся тригонометрическим решением¹ и найдем корни уравнения по формулам:

где Обратим внимание на следующий факт. Анализ полученных формул для расчета оптимального размера заказа Q<_)|)t для четвертой модифицированной модели не зависит ни от показателя прибыли на единицу продукции Р_п, ни от коэффициентов 0₂ и ц, характеризующих время предоплаты за транспортировку заказа и время оплаты заказа после окончания цикла Т соответственно. В то же время указанные показатели влияют на расчет максимальной годовой прибыли F и суммарных затрат на управление запасами C_z.

? Разбор ситуации Определим параметры оптимальной однономенклатурной поставки продукции с помощью классической модели EOQ и четвертой модифицированной модели, учитывающей временную стоимость денег. Исходные данные приведены в табл. 5.21. Затраты на храпение рассчитываются как доля от цены единицы продукции.

Таблица 5.21

Исходные данные для расчетов.

¹ Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. С. 44.

Окончание табл. 5.21

Прежде всего, рассчитаем оптимальный размер заказа продукции в соответствии с классической моделью EOQ по формуле (5.9) с учетом того, что затраты на хранение С_х = С_п • /:

Тогда остальные параметры оптимальной поставки будут соответственно равны:

• оптимальный период (цикл) между поставками по формуле (5.157):

• оптимальное количество поставок в течение года по формуле (5.158):

• минимальные суммарные затраты на управление запасами:

Для нахождения оптимального размера заказа Qo_pt для модифицированной модели EOQ необходимо предварительно рассчитать величину z по формуле (5.173), зависящую в свою очередь от коэффициента а, рассчитываемого по формуле (5.170), и корня у кубического уравнения (5.174), зависящего в свою очередь от величины G, рассчитываемой по формуле (5.177).

Итак, для начала найдем коэффициент а:

Далее рассчитаем параметр G, чтобы определить, какое количество корней имеет кубическое уравнение (5.174):

где величины р и g рассчитываются по формулам (5.175) и (5.176):

где коэффициент с кубического уравнения (5.174) определяется по формуле (5.172):

Поскольку параметр отрицательный, т. е. G < 0, кубическое уравнение (5.174) имеет три различных действительных корня, которые могут быть найдены по формулам (5.180) — (5.182):

Следовательно, угол а = arccos (cosa) = 0,984 радиан. Теперь найдем корни кубического уравнения:

Соответственно, находим по формуле (5.173) параметр г:

Поскольку параметр z > 1, нам подходит только одно значение: z = 1,5. Теперь найдем оптимальный размер заказа Q, для модифицированной модели EOQ по формуле (5.163):

Тогда остальные параметры оптимальной поставки, рассчитанные по формулам для модифицированной модели, будут соответственно равны: • оптимальный период (цикл) между поставками по формуле (5.158):

оптимальное количество поставок в течение года по формуле (5.157):

• минимальные суммарные затраты на управление запасами:

• максимальная годовая прибыль:

Сравнение суммарных затрат и годовой прибыли, рассчитанной по классической и четвертой модифицированной модели EOQ, свидетельствует о том, что в случае учета в модели временной стоимости денег величина суммарных затрат оказывается меньше по сравнению с идеальным вариантом модели на 2,7%, в то время как годовая прибыль возрастает на 38,5%, что свидетельствует о довольно значительной погрешности классической модели.

Для наглядности зависимости суммарных затрат на управление запасами от размера заказа для классической и четвертой модифицированной моделей EOQ приведены на рис. 5.18.

Рис. 5.18. Суммарные затраты на управление запасами для классической и модифицированной модели EOQ.

— суммарные затраты для классической модели; -?— суммарные затраты для модифицированной модели

Если же в компании затраты и прибыль рассчитываются по формулам для четвертой модифицированной модели EOQ, но поставки осуществляются партиями, рассчитанными на основе классической модели, т. е.

по 400 ед. вместо 604 ед., то компания понесет затрат больше на 0,5%, так как они составят С₂ = 1 149 200 у.с., а прибыль окажется меньше на 5%, так как она будет равна F = 110 800 у.е.

Аналогичные расчеты оптимальных показателей модифицированной модели EOQ были выполнены для других вариантов исходных значений коэффициентов, корректирующих затраты с учетом временной стоимости денег, из табл. 5.21. Результаты расчетов приведены в табл. 5.22.

Таблица 522

Оптимальные показатели модифицированной модели EOQ при различных значениях коэффициентов 0₄, 0₂, 0₃ и т|.

Значения коэффициентов 0_t, 0₂, 0₃ и Г) приведены в табл. 5.21.

Анализ табл. 5.22 позволяет сделать следующие выводы:

• • увеличение коэффициента 0_t, отражающего время предоплаты за организацию заказа, ведет к росту величины оптимального размера заказа q_opV периода между заказами T_Qpt и величины суммарных затрат на управление запасами С₂, при этом уменьшает годовую прибыль F;
• • изменение коэффициента 0₂, отражающего время предоплаты за транспортировку заказа, не влияет на величину оптимального размера заказа q_opt и периода между заказами T_opV но влияет на величину суммарных затрат на управление запасами С₂ и годовую прибыль F: чем больше 0₂, гем больше С_? и меньше F;
• • увеличение коэффициента 0₃, отражающего время предоплаты за хранение заказа, ведет к снижению величины оптимального размера заказа q_opV периода между заказами 7'_opt и величины годовой прибыли F, при этом увеличивает величину суммарных затрат на управление запасами С₂;
• • изменение коэффициента Г|, отражающего время отсрочки оплаты заказа после окончания цикла Т, не влияет на величину оптимального размера заказа q_opi и периода между заказами Г_ор1, но влияет на величину суммарных затрат на управление запасами С₂ и годовую прибыль F: чем больше г), тем меньше С₂ и больше F. <

• [1] Лукинский В. В., Алевра Е. Г. О формировании модели оптимальной партии заказа с учетом временной стоимости денег // Логистика: современные тенденции развития. VIII Между пар. науч.-практич. конф. 16—17 апреля 2009 г.: тез. докл. / отв. ред. В. С. Лукинский[и др.]. СПб.: Изд-во СПбГИЭУ, 2009. С. 167−170.
• [2] Лукипский В. С., Бобкова В. М., Бобков А. В. К вопросу об интеграции материальногои финансового потоков в цепях поставок // Логистика и управление цепями поставок. 2014.№ 2(61). С. 15−22.