Использование комплексных чисел для описания синусоидально меняющихся величин. 
Метод комплексных амплитуд

Для анализа синусоидально меняющихся величин не обязательно рисовать векторные диаграммы. Вектор, А на плоскости — это совокупность двух чисел А_х и А_у, двух проекций на взаимно перпендикулярные оси. Причем эти два числа обладают следующим свойством:

где А — модуль вектора А, так что А_х = Acos.

Но точно такими же свойствами обладает комплексное число а + jb, где а и b соответственно вещественная и мнимая части этого числа. (Поскольку буквой i в физике часто обозначают силу тока, мнимую единицу будем обозначать j.) Если обозначить комплексное число точкой сверху А, то.

Модуль, А (абсолютная величина):

Аргумент, А (фаза):

Вычерчивание векторов и сложение их по правилу параллелограмма можно заменить соответствующими действиями с комплексными числами. Это особенно удобно, когда расчеты делаются на компьютерах, так как математические пакеты для компьютеров могут оперировать с комплексными числами, и результат получается много быстрее и точнее, чем с помощью векторных диаграмм.

При этом используется метод комплексных амплитуд. Он заключается в следующем. Пусть имеются два напряжения, сдвинутые по фазе друг относительно друга:

Их записывают в виде.

Измеряемым величинам сопоставляют реальную часть Re от этих.

•.

выражений. Назовем Uoe& комплексной амплитудой U. Тогда оба напряжения будут иметь одинаковую фазу, одинаковый фазовый множитель е^;0*. На него теперь можно не обращать внимания, рассматривая, например, все величины в момент t = 0, когда е** = 1. Но амплитуда напряжения U будет комплексной

С такими амплитудами можно работать как с комплексными числами, складывать, умножать и т. д.

Применим этот метод к случаю, а на рисунке 4.71. Пусть U = Ное*". Тогда заряд на конденсаторе q = СН₀е*". Ток.

где I — комплексная амплитуда тока. Найдем комплексное сопротивление конденсатора.

Оно имеет множитель (-;) и откладывается по мнимой оси в отрицательном направлении (рис. 4.71, г).

Для схемы на рисунке 4.71, в.

т. е. то же, что по формуле (4.150).

Пример. Покажем, как упрощаются вычисления при использовании системы MatLab (см. Приложение 1). Пусть в цепи имеется разветвление, состоящее из параллельно соединенных конденсатора С и резистора R, и даны следующие значения: U = 220 В, со =50 2л = 314 с" ', R = 1000 Ом, С = 1 мкФ = 10^_6 Ф. Найдем токи во всех ветвях по формулам:

Все будет вычислено, но, поскольку всюду поставлено «;», результаты на экран выводиться не будут. Теперь можно узнать значение любой величины. Например, набрав 1C и не поставив «;», сразу получим ток через конденсатор: 0,07j. Он получается чисто мнимым. Можно выяснить его фазу: angle{IC). Получается <�р = 1.57, т. е. к/2. Это означает, что ток опережает напряжение на п/2. Общий ток будет комплексным I = 0.22 + 0.07j.