Анализ производственной функции одной переменной. 
Закон снижающейся предельной производительности

Поведение фирмы будет существенно отличаться в мгновенном, коротком и длительном периодах. В мгновенном периоде затраты всех ресурсов не меняются. В длительном — наоборот, все применяемые ресурсы изменяются. В коротком периоде одни ресурсы — здания, сооружения, коммуникации и т. п. — используются в прежнем объеме; это ресурсы постоянной величины. Другие — труд, сырье и т. п. — меняются; это переменные ресурсы.

Для наглядности рассмотрим сначала ситуацию, когда изменяется расход лишь одного ресурса, а потребление всех остальных является фиксированным. В качестве единственного переменного ресурса возьмем труд. Тогда производственная функция приобретает такой вид: Q= f (L).

Обратимся к примеру, приведенному в табл. 7.1.

Таблица 7.1

Изменения общего, среднего и предельного продуктов при изменении численности работников.

Затем представим данные таблицы графически (рис. 7.2).

Не трудно заметить, что в рамках данного технологического (производственного) процесса можно выделить четыре этапа (стадии, фазы). На первом этапе (до б-го работника) каждый следующий работник оказывается производительнее предыдущего. В результате увеличивается как общий продукт, гак и средний. Причем средний растет медленнее предельного (?MP_l>AP_l).

Рис. 7.2. Кривые общего (а), среднего и предельного (б) продуктов фирмы.

На начальном этапе, когда при достаточно большом количестве постоянных ресурсов (производственные площади, оборудование, запасы сырья и т. п.) переменного ресурса (работников) имеется явно недостаточно, отдача от него может быть небольшой, хотя и постоянно растущей. Можно сказать, что на этом этапе работники — «узкое место» производственного процесса.

По мере увеличения занятости начинает сказываться действие эффекта разделения и кооперации труда, улучшения организации производства. В этих условиях вполне вероятным становится скачкообразное улучшение результатов вплоть до достижения оптимального соотношения затрат труда и капитала, предусмотренного производственным (технологическим) проектом.

Но в конечном счете, если все остальные факторы производства не будут меняться, обязательно сложится ситуация, когда будут исчерпаны резервы разделения труда и резервы, заложенные в самой технологии. Дальнейшее наращивание производства будет становиться все более ресурсоемким, в том числе и по затратам труда.

Наступит второй этап, когда предельная производительность труда начнет снижаться. Но поскольку она будет все еще выше сложившегося уровня средней производительности (MP_L > AP_L), последняя будет продолжать расти. С этого этапа начинает действовать закон убывающей предельной производительности ресурса (или закон снижающейся отдачи). Суть его в том, что при увеличении затрат одного ресурса при постоянной величине затрат прочих ресурсов обязательно наступит момент, когда каждая дополнительная единица переменного ресурса будет добавлять к общему выпуску все меньшую и меньшую величину (ДТР).

На третьем этапе (до 12-го работника) общий продукт будет продолжать расти снижающимся темпом. При этом средняя производительность начнет падать, так как предельная производительность будет уже ниже средней (MP_L < AP_L), оставаясь при этом положительной величиной (MP_L > 0).

Наконец, может настать такой этап (четвертый) в функционировании производства, когда при увеличении затрат переменного ресурса общий продукт начнет сокращаться. Это возможно только в том случае, если предельная производительность переменного ресурса станет отрицательной (МРI < 0). Собственно говоря, комбинации постоянных и переменных ресурсов, при которых общий выпуск начнет сокращаться с ростом затрат переменного ресурса, уже нельзя отнести к технически эффективным, т. е. к производственной функции.

У четвертого этапа развития производства есть нечто общее с первым. И в том и другом случае наблюдается избыточность одних ресурсов и недостаточность других. На первом этапе фирма содержит мощности, производственные площади, запасы, сырье и т. п., которые не может использовать должным образом из-за нехватки работников. Иначе говоря, фирма могла бы производить в этот момент тот же объем продукции при той же численности работников, но меньших размерах капитала. На четвертом этапе переменного ресурса оказывается уже больше, чем требуется при данном масштабе производства. Труд дополнительных работников не обеспечен в полной мере машинами, оборудованием, инструментом, площадями. Образно говоря, работники начинают мешать друг другу, что отрицательно сказывается на общем выпуске^[1].

Теперь дадим геометрическую интерпретацию производственной функции Y с одним переменным аргументом (ресурсом) X. На рис. 7.3, а и б изображен один и тот же график производственной функции (общего продукта).

Рис. 73. Кривая общего продукта, средняя (а) и предельная (б) производительность переменного ресурса На графике кривой ТР отмечены четыре точки: N — точка перегиба, когда график функции из вогнутого становится выпуклым; S — точка касательной (совпадающей с лучом из начала координат) к графику функции; М — точка максимума функции и произвольно взятая точка R.

На графике (рис. 7.3, а) показывается изменение величины среднего продукта (ЛР). К произвольно взятой на кривой общего продукта точке R проведем луч из начала координат, из точки R опустим перпендикуляр на ось X. В результате получим прямоугольный треугольник ОRT. Его катет RT равен величине общего продукта в точке R. Катет ОТ равен величине используемого при этом переменного ресурса X Их отношение равно тангенсу угла а и выражает величину среднего продукта в точке R:

Итак, можно сказать, что величина среднего продукта для любого значения общего продукта определяется тангенсом угла наклона луча, идущего из начала координат к соответствующей точке на кривой общего продукта. Нетрудно заметить, что максимальный угол (следовательно, и максимальный средний продукт) будет наблюдаться в точке S, когда луч из начала координат к точке на графике будет совпадать с касательной к этой точке.

На графике (рис. 7.3, б) показывается изменение величины предельного продукта (МР). Предельный продукт, как уже отмечалось, определяется как частная производная функции общего продукта (производственной функции):

Из математики мы знаем, что значение производной функции Y — /(б) в любой точке равно угловому коэффициенту (tgP) касательной, проведснной к графику функции в той же точке. В рамках экономической терминологии это означает, что тангенс угла наклона касательной к любой точке графика производственной функции выражает величину предельного продукта в этой точке.

На графике (см. рис. 7.3, 6) касательные проведены ко всем четырем выбранным точкам. Очевидно, что наибольшее значение tgp (а значит, и предельный продукт) имеет в точке перегиба производственной функции — точке N. До этой точки tgp (предельный продукт) увеличивается, а после нее — убывает. В точке максимума функции — точке М — предельный продукт становится нулевым. После нее — отрицательным.

Особый интерес представляет точка S. Касательная, проведенная в этой точке графика производственной функции, совпадает с лучом, проведенным к этой точке из начала координат. Это означает, что в точке S tgP совпадает с tga, или, что-то же самое, в этой точке величины предельного и среднего продуктов равны (tgP = tga; АР = МР).

При сравнении двух графиков видно, что до точки S tgP > tga, значит, до этой точки предельный продукт будет превышать средний. После нее, наоборот, уже tga > tgp, т. е. средний продукт будет превышать предельный.

Итак, на первом этапе общий, средний и предельный продукты растут, причем МР > АР.

Математически несложно доказать, что при равенстве среднего и предельного продуктов первая величина достигает максимума. Пусть в общем виде выпуск задан как функция от какого-то ресурса Х Y =/(X). Тогда.

Условием экстремума функции является равенство ее первой производной нулю. Поскольку график функции среднего продукта является выпуклым кверху, значит, речь идет именно о максимуме. Тогда имеем.

Используя правило взятия производной от отношения, получаем.

Откуда следует, что нулю должен быть равен числитель последней дроби:

Если выражение преобразовать таким образом: то нетрудно убедиться, что до тех пор, пока предельный продукт остается.

* dAP_x dAP_x

больше среднего, выражение —~->0. Поскольку —отражает наклон.

ал ал

кривой среднего продукта, то ясно, что до достижения равенства с предельным продуктом средний будет расти.

На втором этапе общий и средний продукты продолжают расти, а предельный снижается, оставаясь еще больше среднего. На третьем этапе растет только общий продукт, в то время как средний и предельный продукты снижаются, причем ЛР>МР> 0. На четвертом этапе общий, средний и предельный продукты снижаются, причем предельный — отрицательная величина.

Проанализировав характер изменения производственной функции, мы пока не ответили на вопрос: а какое количество используемого переменного ресурса можно считать оптимальным?

Ясно, что оптимальный объем переменного ресурса нельзя искать на четвертом этапе, когда дополнительные единицы ресурса имеют отрицательную производительность. Не подходит для этой цели и первый этап. Вспомним, что на этом этапе имеется значительный избыток постоянных ресурсов (мощностей, площадей, сырья и т. п.), которые не используются, но оплачивать которые приходится. В этих условиях привлечение каждой дополнительной единицы ресурса приносит возрастающую отдачу и все поведение производителя должно сводиться к максимально быстрому прохождению этого этапа и выходу на оптимальное соотношение затрат труда и капитала.

Таким образом, с точки зрения рационального поведения фирмы интерес могут представлять только второй и третий этапы производственного процесса, когда нет избытка ни одного из ресурсов, а привлечение каждой дополнительной единицы переменного ресурса приносит хотя и падающую, но все же положительную отдачу. Сказать же, сколько конкретно единиц переменного ресурса надо использовать, нельзя, не зная цены ресурсов и цены готовой продукции.

Ограничение в общем выпуске, которое накладывает на производителя характер используемой технологии, может преодолеваться при переходе к новой, технически более совершенной технологии. При этом может возникать иллюзия, что закон убывающей отдачи перестает действовать, хотя на самом деле происходит лишь установление нового, правда, более дальнего предела выпуска^[2]. В этом легко убедиться, посмотрев на рис. 7.4, а и 7.4, б.

На рис. 7.4, а представлены графики производственных функций трех последовательно реализуемых технологий. Каждый раз при переходе к более совершенной технологии производства расширение использования переменного ресурса сопровождается значительным ростом выпуска, хотя в рамках каждой технологии действует закон убывающей предельной производительности ресурса. В другом случае, представленном на рис. 7.4, 6, использование более совершенной технологии может позволить фирме использовать меньше переменного ресурса для получения того же объема выпуска. Эго, естественно, ведет к снижению себестоимости продукции. Графически это выглядит как сдвиг влево графика кривой общего продукта.

Рис. 7.4. Последствия двух вариантов перехода (а и б) к новым, более совершенным технологиям производства И еще одно замечание.

При рассмотрении графика производственной функции предполагалось, что переход в точке перегиба (N, см. рис. 7.2, а) от возрастающей отдачи к убывающей происходит одномоментно. Однако вполне логично было бы предположить, что между этими двумя состояниями производства может находиться период постоянной отдачи, когда в течение определенного времени каждая очередная единица привлеченного ресурса приносит такую же отдачу, как и предыдущая. А это означает, что в течение этого периода величины среднего и предельного продуктов будут совпадать друг с другом и нс меняться.

Графически такая ситуация показана на рис. 7.5. Такой подход, получивший название «новая микроэкономика», одним из первых продемонстрировал К. Дж. Ланкастер.

Как показывает анализ некоторых реальных производственных процессов, они вполне вписываются в указанную модель. Условием получения постоянной отдачи от переменного ресурса является делимость используемого постоянного ресурса. Допустим, что фермер имеет 1000 га земли и нанимает определенное количество работников, постоянно увеличивая число занятых. Если при этом все время обрабатывается весь участок целиком, то выход сельхозпродукции будет соответствовать традиционной трактовке производственной функции. Но предположим теперь, что весь участок будет поделен на части и каждый новый работник будет обрабатывать свою «делянку»^[3]. При допущении равенства способностей всех работников (гак называемой однородности ресурсов) достаточно долгое время отдача от увеличения числа занятых будет постоянной, а общий продукт будет увеличиваться пропорционально.

Рис. 7.5. Графики общего (а), среднего и предельного (б) продуктов в представлении «новой микроэкономики».

Аналогичную ситуацию можно представить в цеху, где в начальный момент имеется определенное количество незанятых токарных станков. Появление новых токарей одной квалификации также может приносить постоянную отдачу.

• [1] В рассмотренном примере график производственной функции «выходит» прямо из началакоординат. Это значит, что без данного переменного ресурса выпуск не может начаться вовсе. И уже первая использованная единица этого ресурса принесет определенный выпуск. По такбывает далеко не всегда. Во многих случаях требуется определенный минимум какого-то ресурсадля начала выпуска. Тогда график общего выпуска начинается на оси абсцисс, справа от началакоординат с величины минимально требуемого количества ресурса. Возможен и другой вариант. Начало использования какого-то ресурса (например, искусственного освещения) может вызватьрост производительности труда. Но и при нулевом объеме этого ресурса производство будетиметь место (при естественном освещении). График зависимости общего продукта от измененийзатрат этого переменного ресурса начнется с некоторой точки на оси ординат.
• [2] Как говорится, размер свободы определяется длиной цепи.
• [3] По сути, постоянный фактор (или фактор фиксированного размера) превращаетсяв переменный.