Бинарные модели. 
Финансовая математика

Ниже мы рассмотрим более общие модели накопительных счетов, позволяющие довложения (т.е. дополнительные инвестиции), приводящие к увеличению инвестируемого капитала. С другой стороны, для некоторых счетов допускается изъятие суммы со счета. Если случай довложения анализируется достаточно просто, то изъятие суммы с накопительного счета приводит при анализе состояния вклада к определенным трудностям. Мы разберем отдельно случаи довложения и изъятия капитала.

Довложения капитала. Пусть вкладчик открывает накопительный счет на 1000 руб. под 10% годовых. Для простоты расчетов будем полагать, что t₀ =0. Если через год он вносит дополнительно 1000 руб., то какова будет сумма вклада через 2 года? Трудность этой задачи или, скорее, ее необычность состоит в том, что проценты на 2-й год должны начисляться и на дополнительный взнос. Решение поставленной задачи может быть осуществлено двояким образом.

С одной стороны, мы можем рассматривать внесение дополнительной суммы как открытие нового счета с той же процентной ставкой. Это приведет нас к модели мультисчета, описанной в предыдущем параграфе. Начальный и новый счета тогда можно рассматривать как два субсчета одного общего счета (.мультисчета) инвестора. В таком случае понятие «сумма счета через 2 года» будет относиться именно к этому общему счету. Дальше все просто. Накопленная стоимость начального счета к концу 2-го года будет равна.

здесь верхний индекс 0 в скобках обозначает начальный счет. Накопленная сумма по новому (открытому в конце 1-го года) счету составит

верхний индекс 1 в скобках здесь обозначает новый счет.

Тогда к концу 2-го года общая сумма на обоих счетах, т. е. сумма общего счета, будет равна.

В модели мультисчета счета, открываемые отдельными взносами, рассматриваются как независимые. Полная сумма на общем счету получается просто сложением соответствующих сумм на отдельных субсчетах. Таким образом, п последовательных вложений дадут п различных счетов.

Однако такая модель, вообще говоря, непригодна при работе с одним счетом, и именно этот случай имеется в виду, когда говорят о довложении или изъятии средств. Поэтому ниже мы рассмотрим модель, формализующую операции с одним и тем же накопительным счетом. В этой модели наиболее четко и явно представлено основное свойство схемы простых процентов, состоящее в том, что проценты за период начисляются лишь на основной (инвестированный) капитал, так что проценты на проценты предыдущих (прошлых) периодов не начисляются. Это свойство естественным образом требует разделения накопительного счета на две компоненты: основной счет (счет капитала), который определяется только вносимыми суммами, и процентный счет, который учитывает начисленные на инвестированный капитал проценты. При этом сами проценты вычисляются и накапливаются последовательно, но периодам от одного вложения до следующего. Поясним это на том же примере.

Обозначим через P_t сумму на основном счете к моменту времени t. Вначале она равна 1000 руб., т. е.

К концу 1-го года на основной счет будут начислены проценты за год:

После дополнительного взноса сумма на основном счете станет равной

и именно на эту сумму будут начислены за 2-й год проценты.

Полная сумма процентов за 2 года составит.

Учитывая сумму основного счета и начисленные за 2 года проценты, мы получим.

т.е. тот же результат, что и при рассмотрении мультисчета.

Выше, рассматривая проценты, начисленные за определенные периоды времени, мы в качестве промежутков брали открытые справа полуинтервалы вида [я, й). Конечно, проценты за период зависят только от длины промежутка, но не от конкретного его вида, т. е., очевидно, что для любых t₂ >t_{>t₀ проценты за период от t_x до t₂ равны.

где Р_х — состояние основного счета в момент времени t_{

и Т = t₂-ty.

Естественно, при этом предполагается, что в период [ty_y ?₂) не было никаких вложений или изъятий капитала. Выбор полуоткрытого справа интервала в качестве основного обусловлен двумя обстоятельствами; во-первых, принятым соглашением о завершенном состоянии счета и, вовторых, в этом случае естественным образом формулируется свойство аддитивности процентов.

Модель разделения на основной и процентный счета. Перейдем теперь к общему описанию второй накопительной модели, которую мы в дальнейшем будем называть бинарной. В этой модели текущее состояние счета S_r определяется состояниями Р_г основного и 1_Г процентного счетов, а именно,.

При этом процентный счет дает общую сумму процентов, начисленных за весь период от начального момента t₀ до текущего момента t

На состояние основного счета влияют лишь дополнительные взносы С_кУ при этом

а состояние процентного счета определяется суммой процентов, начисленных за критические промежутки до момента времени t и за остаток времени от момента последнего взноса до текущего момента t. Таким образом, если t_k — момент последнего взноса, предшествующий моменту t, то.

причем.

и.

Проиллюстрируем на примере применение модели мультисчета и бинарной модели.

Пример 3. Инвестор в начале года открывает накопительный счет суммой в 1000 руб. Затем в течение 10 лет в конце каждого года вносит дополнительно по 100 руб. Какая сумма будет на счету инвестора через 10 лет, если процентная ставка по счету — 10% годовых?

Решение. Решим задачу двумя способами. Используем сначала модель мультисчста.

Взнос, сделанный вначале в момент времени ?_о=0, через 10 лет увеличится до.

Взнос в 100 руб., сделанный в конце k-vo года, вырастет к концу 10-го года до.

Таким образом, полная сумма счета в конце 10-го года будет равна

Преобразуя сумму в правой части последнего равенства, получим.

Кроме того, имеем, что Таким образом, получаем.

Решим теперь задачу, используя модель разделения счета на основной и процентный, т. е. бинарную модель.

В начальный момент времени t₀ =0 имеем.

Проценты за 1-й год составят.

В конце 1-го года после взноса величина основного счета станет равной.

а проценты за второй год, начисленные на эту сумму, будут равны

Таким образом, состояния основного счета связаны рекуррентными соотношениями.

откуда следует, что.

Проценты за промежуток [&, & + l) будут равны.

Следовательно, в конце 10-го года на основном счете будет

а на процентном счете.

Суммируя теперь оба счета, получим.

Таким образом, получили тот же результат.

Несколько позже мы сформулируем общую теорему в терминах потоков платежей, из которой эквивалентность двух подходов определения полной суммы накоплений будет вытекать непосредственно. Сейчас же перейдем к более тонкому вопросу об изъятиях (снятиях) сумм с накопительного счета.

Изъятия капитала. Так же, как и в предыдущем случае, разберем эту ситуацию на конкретном примере.

Пусть вкладчик открыл счет с начальной суммой 1000 руб. и процентной ставкой 10% годовых. Для упрощения расчетов снова примем, что t₀ =0. Если по истечении года вкладчик снимет со счета 200 руб., то какова будет сумма счета в конце 2-го года, если больше он никаких действий (вложений или изъятий) не осуществлял?

Из условия ясно, что к концу 1-го года непосредственно перед изъятием на счете будет.

Изъятие уменьшит счет на 200 руб., т. е. на счете останется.

Теперь основной вопрос состоит в следующем. На какую сумму должны начисляться проценты за 2-й год? На первый взгляд ответ очевиден: на оставшуюся часть вклада. В этом случае сумма счета в конце 2-го года станет равной.

Однако требование начисления процентов на остаток в 900 руб. вносит некоторую асиметрию по сравнению с добавочными взносами. Чтобы увидеть это, дадим несколько иную интерпретацию изъятиям. Пусть в конце 1-го года инвестор не снимает со счета 200 руб., а берет кредит в другом банке на эту же сумму и под те же 10% годовых. Подсчитаем теперь баланс вкладчика на конец 2-го года. Поскольку теперь начальный вклад в первом банке не изменится, то к концу 2-го года на счету будет.

Со стороны займа накопятся проценты, и вкладчик будет должен второму банку.

Тогда после снятия денег со счета для оплаты расходов по кредиту у вкладчика останется.

Как мы помним, начисление процентов на остаток даст инвестору в итоге 990 руб., что на 10 руб. больше, чем вариант с кредитом!

Легко видеть, что вариант с кредитом (вместо изъятия) полностью аналогичен рассмотренному выше случаю с дополнительными взносами, если изъятия трактовать как займы. С формальной точки зрения это просто модель мультисчета, в которой первый платеж, открывающий счет, имеет положительное значение, а изъятие трактуется как отрицательный платеж. Общий итог этих действий будет описываться результирующим накопленным (будущим) значением мультисчета, состоящего из двух субсчетов:

Модель с основным и процентным счетами также не нуждается в корректировке, если только иод изъятием понимается уменьшение основного счета (счета капитала). Именно здесь и разрешается упомянутое выше «противоречие». В самом деле, если считать, что 200 руб., снятых в конце 1-го года, уменьшили лишь основной счет, то мы получим последовательно.

и

Проценты за 1-й год тогда составят а за второй.

что в сумме дает 180 руб., а вместе с основным счетом в точности.

что совпадает с результатом для случая «кредитного» изъятия.

Таким образом, изъятия для накопительной модели в схеме простых процентов — тонкая процедура. Поскольку суть простых процентов, как мы знаем, состоит в том, что они начисляются лишь на инвестируемый капитал, а ранее начисленные проценты при этом начислении не учитываются, то по существу такая схема заранее предполагает раздельный учет инвестиций (вкладов, взносов и т.и.) и начисленных на них процентов. Поэтому при добавлении и снятии сумм необходимо указывать счета, на которые зачисляются или с которых снимаются денежные суммы. Если внесение дополнительных сумм неестественно зачислять на процентный счет, то для снятия сумм ответ далеко не однозначен.

На практике банки часто периодически выплачивают проценты, но вкладу. Такие выплаты не меняют основной счет (начальный вклад), но при каждой выплате обнуляют процентный счет. В нашем примере уменьшение за счет снятия 200 руб. наращенного за год значения 1100 руб. до 900 руб. равносильно снятию 100 руб. с процентного счета и 100 руб. с основного счета. Таким образом, основной счет в этом случае уменьшается лишь на 100 руб., а не на 200 руб., как при кредитном снятии в модели мультисчета.

Различие между изъятиями лишь с основного счета и изъятиями, затрагивающими процентный счет, весьма существенно. Пусть в условиях нашего примера с начальным счетом в 1000 руб. и ставкой 10% годовых ежегодно снимается 100 руб. Если это изъятие лишь с процентного счета, то основной счет не меняется и может существовать сколь угодно долго (пока выполняются упомянутые условия). Если же изъятия осуществляются с основного счета, то он ликвидируется (обнуляется) за 10 лет, а процентный счет при этом достигает наибольшего значения и больше не меняется.

Возвращаясь к нашему последнему примеру с изъятием суммы в 200 руб. в конце 1-го года, заметим, что расхождение в 10 руб. между двумя способами вычисления состояния счета в конце 2-го года обусловливается разными способами определения суммы, на которую начисляются проценты.

В первом случае при начислении процентов на остаток счета подразумевается, что производится начисление на остаток полного счета S_{f y} который включает в себя и проценты. Поэтому начисление на 900 руб., оставшихся после изъятия 200 руб. с накопленной суммы 1100 руб., лишь на первый взгляд можно считать начислением на остаток основного счета. Обычно в подтверждение того, что это начисление на остаток основного счета, ссылаются на то, что первые 100 руб. пошли на погашение процентов (и тем самым процентный счет становится нулевым), а остальные 100 руб. уменьшают основной капитал с 1000 до 900 руб.

Однако утверждать это фактически означает, что принято вполне определенное правило вычисления остатка основного счета, состоящее в том, что при изъятии сумм сначала уменьшается процентный счет, а затем основной. Однако для изъятий, размер которых не превышает величину накопленных процентов, это сразу же приводит к различию между полным и основным счетами. Допустим, что инвестор снял со счета 50, а не 200 руб. Тогда, следуя указанному правилу, мы получим в остатке 1000 руб. основного и 50 руб. процентного счетов. Ясно, что начисление на остаток в 1050 руб. полного счета означает не только начисление на 1000 руб. основного счета, но и на 50 руб. процентного, т. е. начисление процентов на проценты, что противоречит самой схеме простых процентов и фактически приводит нас к использованию сложных процентов.

Оставаясь в рамках простых процентов и используя способ разделения счета на основной и процентный, проценты придется начислять лишь на 1000 руб. основного капитала. Это утверждение можно сформулировать в общем виде как принцип простых процентов. В формализованном виде его можно записать в виде равенства.

означающего, что проценты за любой период времени [?,? + Г) начисляются (при отсутствии промежуточных ноступлений или изъятий) только па основной счет Р₍ и никак не зависят от накопленных до начала периода процентов, т. е. от величины I_t.