О предельных значениях интеграла типа Коши в случае, когда граничная функция удовлетворяет условию Гельдера-Липшитца

Пусть С есть произвольная гладкая замкнутая линия, и функция <�р (ч) задана на линии С и удовлетворяет условию Гельдера-Липшитца:

где 0 < а ^ 1, /С— некоторое постоянное, а С_х и — любые две точки линии С• Интеграл типа Коши

представляет функцию F (z), аналитическую всюду внутри контура С, и функцию F_{{z), аналитическую всюду вне С.

Мы докажем, что функция.

стремится к определённому конечному пределу, когда точка z приближается, оставаясь на внутренней нормали линии С (или на внешней нормали С), к произвольной точке z₀ контура С¹). Эти предельные значения интеграла типа Коши образуют, следовательно, функцию ?/(z_n), определённую во всех точках z_n контура С (соответственно функцию если точка .г прибли жается к точке z_Q, оставаясь вне С), которая, как мы покажем, будет удовлетворять условию Гельдера-Липшитца вида (А) и тесно связана с граничной функцией? (2₀).

В интеграле типа Коши (60') под z мы понимаем точку, лежащую внутри контура С. Естественно, возникает вопрос, можно ли рассматривать значение интеграла типа Коши на контуре С, т. е. какой смысл имеет выражение:

1) Можно было бы доказать, что предельное значение интеграла типа Коши существует при любом стремлении точки z к точке z₀ изнутри С (или извне С). См. пашу статью «Об интегралах типа Коши», ДАН, 1939.

При обычном понимании процесса интегрирования формула (61) лишена.

«(О смысла, так как функция —— не интегрируема, вообще говоря, вдоль С, С — г₀

когда точка z₀ находи гея на линии С. Поэтому мы должны прежде всего определить смысл выражения (61). С этой целью обозначим через s₀ значение дуги s контура С, соответствующее точке z₀, а через С% часть линии С, оставшуюся после удаления из С наименьшей дуги, концами которой служат точки С'($о — О и С ($о" |" ^е)* Под выражением (61) мы будем понимать предел выражения.

при е, стремящемся к нулю, т. е. положим:

показав, что последний предел существует и есть конечное число. В самом деле,.

откуда при е —?О найдем: так как.

я, следовательно, кроме того,

Последний интеграл существует вследствие абсолютной интегрируемости подингегрального выражения, что мы усматриваем из неравенства;

Последнее неравенство равносильно с предыдущим, потому что на гладком контуре имеем:

где а — некоторое постоянное, зависящее от контура.

Наша ближайшая задача состоит в том, чтобы установить формулы:

дающие выражения предельных значений (соответственно <�р<,(г₀)) интеграла типа Коши изнутри контура С (соответственно извне О через значения самого интеграла на контуре и данную граничную функцию. Очевидно формула (II) вытекает из формулы (I), если изменить направление пути интегрирования. Для вывода формулы (I) возьмём г на нормали z₀, полагая г = г₀ -f- e/e^/(Fo, где <�р₀—угол между положительными направлениями оси абсцисс и касательной к контуру С в точке z₀, и рассмотрим разность.

Очевидно, вследствие (66) мы установим формулу (I), если докажем, что разность F (e;z₀) стремится к пределу, равному y?(^zo)" когда е сц>е;

мигся к нулю.

Заметив, что.

мы докажем наше утверждение, если обнаружим стремление к нулю при -* 0 выражения, заключённого в квадратные скобки. Для этого заметим, что.

и

где | k | s — 01 < h — h (rj), и, кроме того, положим: ?© = ?(C (s)) —f{s)_t ?(г₀) = ?(С ($₀)) = /(*)> & — = e^ds, где у— угол между положительными направлениями оси абсцисс и касательной к контуру С в точке С ($).

После этого легко получим:

Полагая далее s — s₀=a и обозначая для сокращения ke—Ы =т, причём | т | < г, для | с | < Л. выражение (69) перепишем таким образом:

где ?(з) = ?% — *°) (/($) — /(•*<)"•.

Выражение, стоящее между квадратными скобками в формуле (68), перепишется в виде:

Покажем сначала, что предел второю слагаемого формулы (71) при г-* О равен нулю. С этой целью заметим, что.

(е.

f₉ (s)da 2 Г

г,—? г-• <�—I |?(о)*/е-*0. Последнее заключение сле;

• (1 — т) с- ~и е j
• — е — с

лаио на основании того, что функция | у (о) | = |/ ($₀ 4- °) —/($о)| непрерывна и равна нулю при с = 0. Теперь нам остаётся доказать, чю предел при е-*0 перзого слагаемого формулы (71) равен нулю. Разбивая интеграл интеграции в исследуемом интеграле на части (—/г, —е), (е, И), С_л, мы видим, что наш интеграл, взятый по С/, стремится к нулю вместе с в. Вопрос приводится, мким образом, к исследованию суммы:

Замечая, что.

3

положим Ф© = ^ | <�р © | //а и перепишем правую часть неравенства (73) в виде:

Обингегрированиый член стремится к нулю вместе с т. Последний же интеграл представится так: ,.

Полагая здесь Ф (о) = г (з)*с к заменяя через 1, убеждаемся, что.

о* б^г

выражение (74) меньше, чем.

и, значит, подавно меньше, чем.

Так как sup г © можно считать сколь угодно малым вместе с rj, то послед;

нее выражение сколь угодно мало вместе с т).

То же заключение можно сделать относительно второго слагаемого, суммы (72). Таким образом, справедливость формулы (1) доказана.

П р и м е ч, а н и е. Из произведённого анализа легко усмотреть, что во-первых, формула (66) имеет место равномерно относительно z₀, во-вторых, выражение (68) стремится к — (c)(zq) при s -? 0 равномерно относительно z₀

Следовательно, предельные значения и ?_e(z₀) интеграла типа Коши, определяемые формулами (I) и (II), существуют по нормалям равномерно относительно точки z₀, а эго равносильно утверждению, что интеграл типа Коши стремится к своим предельным значениям <�р/(zq) и ъ_е{гф в любой точке z₀ контура С, когда точка z приближается к точке z₀ произвольным образом соответственно изнутри С и извне С.

Складывая установленные формулы (I) и (II) и деля полученное равенство пополам, находим:

т. е. значение интеграла типа Коши в любой точке контура интегрирования равно среднему арифметическому его предельных значений. Вычитая формулы (I) к (II), мы получим:

т. е. значение граничной функции в любой точке контура равно разности предельных значений в этой точке интеграла типа Коши.

Установив формулы (I) и (II), дающие выражения для предельных значений и ^zo) интеграла типа Коши, докажем теперь, что этн предельные значения удовлетворяют условию Гельдера-Липшитца с тем же показателем а, если а < I, и с показателем сколь угодно бшзким к 1, если а = I ²).

^J) См. И. И. Привалов. Интеграл Коши, Научные записки Сар. Ун-та 1918, а также нашу статью «Об интегралах типа Коши», ДАН, 1939.

Согласно формуле (II'), теорему достаточно доказать для предельных значений у_е (z₀). Замечая, ^чго _г ~ ТГ (^этот интеграл понимается как lim 1-=-^—), перепишем формулу (II) в виде.*.

, 1 С — го /.

с.

Таким образом, задача заключаемся в исследовании интеграла как функции z₀. Давая дуге s₀ приращение А$₀, получим: откуда

Интегрируем сначала от s₀ — е до s₀ + ^?. считая е = 31 А^₀ |. Воспользовавшись условием (/1), найдём, что эта часть интеграла (75) по модулю меньше, чем

так как

Остаётся выполнить интегрирование по дуге С", полученной из С, путём выкидывания дуги (s₀ — е, s₀-{-s). Предварительно преобразуем подинтегральную функцию в интеграле (75) к виду:

Замечая, что! < А, где А— некоторое постоянное, мы заключаем:

С.

интеграл от функции (78), взятый вдоль линии С₈, по модулю будет меньше, чем

в случае же, а = 1 меньше, чем.

где Tj > 0 сколь угодно мало. При выводе оценок (79) и (80) мы воспользовались неравенствами (А) и (77). Объединяя оценки (76) и (79), соответственно (76) н (80), мы видим, что.

и

где т)>0 сколь угодно мало, если я=1. Последние неравенства могут быть заменены, в силу (77), им эквивалентными:

и.

Итак, высказанная выше теорема полностью доказана.