Расчет запрещенной зоны в одномерном фотонном кристалле

Запрещенную зону в одномерном фотонном кристалле можно рассчитать из уравнений Максвелла.

Рассмотрим распространение электромагнитных волн в электрически неоднородной среде. В уравнениях Максвелла:

? есть функция координат точки. Подставив Hиз первого уравнения во второе, получим для E уравнение:

Исключение же E^с дает уравнение для H:

H + H? щ² / с²+ (? * rotH) /? = 0.

Эти уравнения упрощаются в случае, когда меняется лишь в одном направлении в пространстве. Выберем это направление в качестве оси x.

Также рассмотрим волну, направление распространения которой лежит в плоскости xz. В такой волне все величины не зависят вовсе от координаты y, а ввиду однородности пространства вдоль оси z можно рассматривать зависимость от z, даваемую множителем л^iвzс постоянным в. Диссипация энергии определяется волной ТМ поляризации, соответствующей направлению поля Hвдоль оси y, а Eв плоскости распространения. Уравнение для такой волны:

Это уравнение решено в приближении малой ?, которая пропорциональнаz, и в приближении геометрической оптики. Эти приближения не позволяют полноценно описать процессы в фотонном кристалле. Найдем решение этого уравнения в общем случае. Разделим обе части уравнения на H:

Добавим и вычтем в правой части уравнения член (? / H²)*(дH / ?дx)².

Заметим, что разность.

Представляет собой производную:

.

Представим? в виде суммы ?₀ + ??(x), а также 1/?. И так далее получим:

Умножим обе части уравнения на ?₀ и разделим на выражение:

.

Проинтегрируем обе части уравнения.

После интеграции получаем:

Здесь мы провели замен в²/? = в²/?₀ ,.

которая соответствует малой ??. Эта замена упрощает выражение, но нигде не используется.

В конечной формуле для большой ?? необходимо умножить в² на ?/?₀. Согласно обозначению R (x) определим H:

(4.1).

Преобразуем второе слагаемое под знаком тангенса в.

Пренебрежем в знаменателе второго слагаемого под знаком тангенса членами подставим полученное выражение в (4.1), тогда уравнение (4.1) примет вид:

Примем во внимание соотношение.

1 / (1 + tg²(x)) = cos²(x).

Замечая, что выражение.

представляет собой дифференциал выражения под знаком тангенса в (4.2), вычтем и прибавим к первому множителю в интеграле в экспоненте выражение:

Также замечая, что.

? tg (x)dx = ln|cos (x)|,.

и производя интегрирование в (4.2), получаем:

В первом приближении можно пренебречь в тангенсе в числителе подынтегрального выражения в экспоненте третьим слагаемым и воспользоваться соотношением.

tg (x)/(1 +tg²(x)) = sin (2x),.

Аналогично можно рассматривать котангенс в выражении (4.1), тогда получаем результат:

В работе [2] приведено приближенное выражение для компонент напряженностей магнитного и электрического полей:

Наше решение в том же приближении малости (rx) совпадает с этим результатом, что непосредственно следует из (4.2) принимая во внимание равенство тангенса в нуле нулю, а котангенса бесконечности, а также равенство:

Последнее выражение, полученное из уравнений Максвелла, позволило написать программу для расчета запрещенной зоны и построить график.