ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ 2-го — 4-го РОДОВ

В данной главе рассмотрены способы решения диффузинных уравнений при граничных условиях выше i-го рода.

Граничные условия 2-го рода

Граничные условия 2-го рода (задача Неймана) возникают, если на поверхности образца постоянной поддерживается не концентрация, а поток диффузанта.

Диффузия в пластину. Если пластина -LL в начальный момент времени содержит равномерно распределённую концентрацию С (о) и диффузант поступает через обе поверхности с постоянной скоростью ,/₀, т. е.

Общее количество диффузанта, проходящее в пластину через единицу площади в зависимости от времени, равно 2J₀t.

Электрохимический вариант метода проницаемости. Граничные условия 2-го рода имеют место, например, в работе электролитической ячейки, в которой входная поверхность металлической мембраны находится в контакте с жидким электролитом и путём электролиза воды генерируются протоны, проникающие в металл и выходящие с противоположной стороны мембраны в виде молекулярного водорода. Поэтому в электрохимическом варианте водородопроницаемости металлов возникают краевые задачи типа II-I и Н-Ш.

В качестве примера краевой задачи типа II-I рассмотрим проницаемость пластины при справедливости применения классических законов Фика. Коэффициент диффузии будем считать постоянным. В процессе диффузии на входной поверхности мембраны (х=о) постоянен поток диффузанта, а на выходной поверхности мембраны (д:=Н) постоянна концентрация диффузанта (для простоты будем считать её равной нулю).

Решение уравнения Фика для нормированного (на стационарный поток) потока через плоскую мембрану при граничных условиях II-I, адаптированных к электрохимическому варианту метода водородопроницаемости, имеет вид:

— ряды, быстро сходящиеся при малых временах:

— ряды, быстро сходящиеся при больших временах:

здесь u=D/H*.

Рис. 1. Кривые прорыва: 1 — граничные условия 1-го рода; 2 — граничные условия 2-го рода (электрохимический вариант).

Замечание. В электрохимическом варианте обычно регистрируют не поток водорода, а электрический ток через мембрану. Переход от одного способа регистрации к другому осуществляют путём введения числа Фарадея.

«Особой» точкой на кривой проницаемости, j (t)_t является точка перегиба этой кривой. Для её нахождения следует провести численное двойное дифференцирование зависимости j (t) (точка перехода через d²j (t)/dt²=o даёт время для точки перегиба).

Рис. 2. Определение точки перегиба на кривых проницаемости (зависимость второго дифференциала от кривой проницаемости от времени): 1 — граничные условия 1-го рода; 2 — граничные условия 2-го рода.

Легко показать, что время точки перегиба для задачи II-I при одинаковых значениях D и Яна 55,059% больше чем для задачи I-I.

В электрохимическом варианте метода проницаемости на вход мембраны подаётся постоянный поток диффузанта, что приводит к диффузионной задаче II-I: на входе мембраны — граничные условия 2-го рода, на выходе мембраны — граничные условия 1-го рода. На практике такие ситуации возникают, когда одна поверхность облучается пучком ускоренных ионов или в электрохимическом варианте метода проницаемости (мембрана одной стороной контактирует с водным раствором и на неё подан электрический потенциал, образующийся с постоянной скоростью водород проникает в исследуемый материал).

В задаче II—I интегральное распределение вероятности проницаемости:

Плотность распределения:

Первый начальный момент:

Табл. 1. Моменты электрохимического варианта проницаемости.

Л¹

Здесь г, —;

^L 2D

Рис. з. Нормированный на максимальное значение поток на выходе из мембраны при прохождении бесконечно тонкого импульса для граничных условий i-го рода (кривая l) и 2-го рода (кривая 2).

Электрохимический вариант метода проницаемости (или проницаемость мембраны, входная поверхность которой подвергается ионной бомбардировке) изображается на карте Бекмана точкой с координата;

ми (з, 84;8,8з);

Табл. 2. Значения параметров «особых точек» кривых проницаемости для граничных условий l-го и 2-го рода.

Граничные условия i-го рода Граничные условия 2-го рода.

В электрохимическом варианте метода проницаемости, осуществляемом в водном растворе электролита, на вход металлической мембраны подаётся не концентрация, а поток диффузанта. Часто эксперимент проводится не на постоянном, а на переменном токе.

Пусть на входе в мембрану атомарный водород подаётся согласно функции:

где g)=2kv (рад/с), v — частота (герц).