Решение систем дифференциальных уравнений первого порядка

Пусть задана система п дифференциальных уравнений первого порядка.

Требуется определить неизвестные функции у_ь у₂, у_п, если заданы начальные условия.

Задача (4.7), (4.8) называется задачей Коши для системы дифференциальных уравнений первого порядка.

В векторной форме эта задача имеет вид.

Численное решение этой задачи состоит в нахождении приближенных значений вектора Y в заданных узлах сетки х_1г i — 1,…, п.

На практике наиболее распространенным методом решения подобных задач является метод Рунге — Кутты. Соответствующие рекуррентные соотношения, как и для случая одного уравнения первого порядка, имеют вид

где.

Погрешность метода можно оценить следующим образом. Пусть сначала проводились вычисления с шагом h, а затем с h/2. Тогда погрешность в точке х, при вычислениях с шагом h/2 оценивается так:

где y_{J (} —j-я координата вектора Y, вычисленного в i-м узле.

Пример 4.3 [2].

Рассмотрим следующую задачу: на сетке отрезка [0; я/2] с шагами я/6 и л/12 найти численное решение системы двух уравнений.

при условиях у, (0) = 0, у₂(0) = 1.

Решение. Приведем обозначения условий задачи к виду, удобному для проведения расчетов по методу Рунге — Кутты:

При этом индекс i меняется от 1 до 3 (поскольку узлов на указанном отрезке, кроме исходного, еще три: ху = я/6, х₂ = п/3, х₃ = я/2), а индекс) меняется от 1 до 4.

Результаты расчета приведены в следующей таблице.

Погрешность в соответствии с формулой (4.10) можно оценить так: