Вопросы устойчивости и монотонности схем сеточно-характеристического метода

От любой разностной схемы требуется, естественно, ее сходимость, т. е. разностные уравнения должны, давать приближенное решение исходной задачи, причем тем точнее, чем мельче сетка разбиения области. Как известно, для линейных задач из аппроксимации и устойчивости следует сходимость (теорема эквивалентности Лакса-Рябенького), причем для исследования устойчивости разностных уравнений с постоянными коэффициентами обычно используется метод Фурье [7—10].

Ниже такой подход применяется для изучения локальной устойчивости полученных в разд. 1—3 разностных схем с использованием обычного принципа линеаризации и ''замораживания" коэффициентов ([6, 56] и др.).

1. Рассмотрим дифференциальные уравнения (3.1) и аппроксимирующие их разностные уравнения (3.7) при А_х = corist, А₂ = const, f = 0 и периодических начальных условиях. Тогда устойчивость (и вытекающую из нее по теореме эквивалентности сходимость) разностных схем можно получить, анализируя решения (3.7), методом Фурье:

Исследуем вначале одномерный по пространственным переменным случай. Матрица перехода от слоя к слою G здесь имеет вид.

G = С (т, ф) = Е — а⁷ Л" ¹ | А |⁷Я (1 — cos.

¹ Aftsin^. Необходимое условие устойчивости Неймана.

где _к — собственные значения матрицы перехода G, будет выполняться при о| _к | <1 (Л: = 1,2,…,/), т. е. выполнении условия Куранта-Фридрихса-Леви (КФЛ). Это условие, как отмечалось, заключается в том, что область зависимости для дифференциального уравнения должна нахо_: даться внутри области зависимости разностного уравнения. Условие КФЛ является и достаточным здесь, так как равномерная по т ограниченность Gⁿ следует из соотношения.

Таким образом, схемы I и II сеточно-характеристического метода (2.5) устойчивы в случае двух независимых переменных. Отметим, что для схемы первого порядка (у = 0, у ⁼ 1 — схемы I) доказательство устойчивости разностной задачи Коши можно провести при менее строгих ограничениях. Для квазилинейной системы доказательство сходимости схемы, подобной (2.5), как отмечалось, дано в работе [67].

Рассмотрим теперь случай трех независимых переменных в (3.1). При v = 0 (7=1) для (3.7) матрица перехода имеет вид.

Найдем условие устойчивости Неймана в предположении симметричности матриц Ai, А2 • Пусть z = х + /у — собственный вектор G. Учитывая равенство (G, z, z) = X | z |² и предполагая симметричность матриц А _ь А₂, получим.

Из неравенства (1) видно, что условие устойчивости Неймана | X | < 1 будет справедливо при a_yQi + о₂Qi < max (aJX*! +a₂|Xj|) <1,т.е. при выполнении условия КФЛ. При выводе этого условия использовалась симметричность матриц А у и А₂. Но рассмотрение отдельных примеров с несимметричными матрицами позволяет предположить, что условие Неймана для схемы I ((3.7) при v = 0, у = 1) выполняется при соблюдении условий КФЛ и в более общем случае.

В случае одного скалярного уравнения (3.1) (/ = 1) условие устойчивости (1) принимает вид.

Это соотношение, являющееся необходимым и достаточным условием устойчивости в случае уравнений с постоянными коэффициентами, эквивалентно условию (1) (по крайней мере при симметричных матрицах).

Поэтому основные свойства разностных схем предлагаемого выше метода могут быть выявлены на простейшем примере:

Добавляя к пяти симметричным точкам на слое t = tⁿ новую точку (m — 1, / — 1), выбранную с учетом направления характеристики, разностные схемы сеточно-характеристического уравнения (2) в следующем виде:

метода (3.7) можно записать для.

Применяя метод Фурье, можно исследовать вопросы устойчивости различных схем, получающиеся из этого соотношения. Опуская выкладки, отметим некоторые из них.

При линейной интерполяции v = 0, у = 1 схема устойчива при выполнении условия КФЛ. При квадратичной интерполяции (7 = 2) схема оказывается устойчивой при выполнении условия КФЛ лишь для v = ½ ((3.7) при v = ½, 7 = 2 — схема II). Для остальных значений v схема устойчива при а² = О (г) (/ = 1,2), т. е. когда шаг по времени существенно меньше шагов по пространственным координатам. В последнем случае шах|Х| = = 1 + а + а и рост начальной ошибки е₀ в процессе счета характеризует ся величиной е₀(1 + й +ау!^т.

Привлечение добавочных узлов на плоскости t — tⁿ ухудшает устойчивость. Например, применение линейной интерполяции с выполнением условия КФЛ при использовании еще одной точки (m — 2, /) сделает схему вообще неустойчивой. При интерполяциях более высокого порядка (с привлечением новых точек) получаются схемы, устойчивые лишь при а)=0{т) (/ = 1.2).

Возможны также схемы, устойчивые при выполнении условия КФЛ по одному из направлений (например, а₂ < 1), в то же время по другой координате переменной требуется, чтобы а = 0(т). В частности, такова предложенная ранее схема [43]. При практическом счете по этой схеме шаг по переменнойх₂ выбирался так, что имела место оценка а ~ 10″⁴ (при этом е₀ через 10³ шагов по t увеличивалась до 1.2 е₀, что, вообще говоря, вполне допустимо). Этот пример свидетельствует о том, что такие схемы можно применять, если а < 1.

2. Обычно монотонными называются схемы, не нарушающие монотонного характера рассчитываемых профилей. Часто приходится встречаться с численными схемами, которые дают осциллирующее около основного решение. Иногда такие колебания принимают за неустойчивость, хотя это и разные явления.

К классу монотонных схем в соответствии с [6], относят положительные, по Фридрихсу, схемы.

Покажем, что схема I ((3.7) при v — 0, у = 1) сеточно-характеристического метода относится именно к этому классу, т. е. коэффициенты в (3.7) неотрицательны и сумма их равна единице.

Для скалярного уравнения при v = 0 и у = 1 это сразу следует из выраИз этих соотношений следует очевидное равенство жения (3). В общем случае эта схема для (3.7) может быть записана в виде.

Можнс показать, что при выполнении условия КФЛ о_х lAj II + а₂ И Л₂ И < < 1 матрица Т₀ имеет лишь положительные собственные значения. Так как | Ai | ± Aj = i | Xj | ± Xj,…, | X/1 ± X/ (и I X* | ± _k > 0 (аналогично и для | Л₂1 ± A₂), то матрицы 7) (/ = 1, 2, 3, 4) также имеют неотрицательные собственные значения.

Таким образом, матрицы 7) (/ = 0, 1,2, 3,4) — неотрицательно определенные, и их сумма равна единичной матрице. Следовательно, рассматриваемая схема положительна, по Фридрихсу, и монотонна (при v Ф 0 схема (3.7) не может быть монотонной).

Итак, на основании проведенного выше исследования свойств схем сеточно-характеристического метода можно сделать следующие выводы.

Наилучшей с точки зрения устойчивости является схема первого порядка точности с линейной интерполяцией (схема I). Эта схема монотонна и содержит необходимые диссипативные члены для определения также негладких решений.

Схема II может давать осцилляции на негладких решениях, но в то же время позволяет выбирать при заданной точности вычислений более крупные шаги сетки. Поэтому схемой II целесообразно пользоваться для численного нахождения достаточно гладких решений.

Для задач с сильными разрывами целесообразно пользоваться дивергентными схемами (разд. 2, 3).