Проверка статистических гипотез

В результате освоения материала данной главы студент должен: знать

• • основные понятия теории проверки гипотез;
• • метод отношения правдоподобия;
• • гипотезы о математическом ожидании, дисперсии и других статистических параметрах основных распределений;

уметь

• • строить гипотезы и проводить их проверку;
• • минимизировать ошибки первого и второго рода; владеть
• • навыками построения и проверки статистических гипотез.

Основные понятия

Проверка статистических гипотез представляет собой метод принятия решения по результатам анализа выборки наблюдений. Рассматривается некоторая генеральная совокупность, на которой задана случайная величина описывающая исследуемое случайное явление. Высказываются два взаимоисключающих утверждения (статистические гипотезы). Из генеральной совокупности извлекается выборка для проведения анализа. По результатам анализа принимается решение о принятии одной гипотезы и отклонении другой. Проверку выдвинутой гипотезы осуществляют статистическими методами, поэтому ее называют статистической проверкой гипотез.

Основной (нулевой) гипотезой Н₀ называется предположение, которого придерживаются изначально, пока наблюдения не заставят признать обратное.

Альтернативной (конкурирующей) гипотезой Н₁ называется гипотеза, которая противоречит основной гипотезе Н₀ и которую принимают, если отвергают основную гипотезу.

В итоге статистической проверки гипотезы может быть принято правильное или неправильное решение. Применяя правило принятия решения, можно совершить ошибки двоякого рода.

Ошибка первого рода состоит в том, что основная гипотеза отклоняется, хотя она верна. Вероятность ошибки первого рода обозначают через, а = Р{Н₁Н₀}.

Ошибка второго рода состоит в том, что основная гипотеза принимается, хотя она неверна. Ее вероятность обозначают через Р = Р{Н₀ |Я_Т}.

Правильное решение может быть принято также в двух случаях: 1) гипотеза принимается, причем она действительно верна; 2) гипотеза отвергается, причем она действительно неверна.

Всякое правило принятия решения по выбору одной гипотезы и отклонении другой, сделанное по результатам анализа наблюдений случайной величины ?, = {х_а, х₂, …, х"} называется статистическим критерием. «Для признания критерия гипотезы Н₀ хорошим необходимо потребовать, чтобы при этом критерии вероятность отвергнуть гипотезу Н₀, если она в действительности верна, была мала, а вероятность отвергнуть Н₀, когда она ошибочна, была велика»^[1].

Обычно используется критерий, связанный с заданием критической области с границей х_кр, при выходе за которую некоторой функции от результатов наблюдений (статистики критерия) считается, что выборка обнаруживает значимое отклонение от гипотезы Н₀ (рис. 15.1). Вероятность того, что гипотеза Н₀ справедлива, но забракована, есть Р{г| > х_кр|Н₀} = а, где, а в связи с этим называется уровнем значимости; х_кр(а) — квантиль, определяемый надежностью оценивания. При отклонении гипотезы Н₀ принимается гипотеза Ну Несимметричность постановки задачи относительно Н₀ и Н_г вызвана различными последствиями совершения ошибок первого и второго рода. Обычно за Н₀ принимают ту гипотезу, которая кажется более важной. Например, если изделие годное, но отбраковано по результатам контрольных измерений, то цена ошибки, как правило, будет меньше по сравнению с тем, когда негодное изделие признано кондиционным. Для надежного различения Н₀ и Я, критическая область должна выбираться так, чтобы попадание в нее было маловероятно, соответственно, гипотезы должны существенно различаться.

Рис. 15.1. Области для принятия решений.

Статистический критерий стараются выбрать, минимизируя ошибки первого и второго рода. Но неограниченно уменьшать обе ошибки невозможно, уменьшение одной из них ведет к увеличению другой. В теории статистических гипотез наиболее распространен подход, в котором вероятность ошибки первого рода (ошибочного отклонения нулевой гипотезы) ограничивается заданным, а > 0. Описанный подход рассмотрен Е. Нейманом и Э. Пирсоном, которые реализовали его в одноименном уравнении, а мы применим его в рассмотренном ниже методе отношения правдоподобия.

Метод принятия решения может быть формализован следующим образом.

Вводится правило принятия решений: строится случайная величина К, являющаяся функцией наблюдений со своей плотностью вероятностей при условии истинности нулевой гипотезы р_к(х|Н₀). При заданном уровне значимости, а составляется уравнение.

где К_а = К (х_кр(а)) является границей, разделяющей области для принятия решений.

Высказываются основная гипотеза и альтернативная. Например:

• • гипотеза Н₀: 0 = 0_О изделие признано бракованным;
• • гипотеза Н_х: 0 = 0_Х > 0_О изделие признано годным.

Неравенство К > Ка преобразуется в неравенство для некоторой новой случайной величины г, которая сравнивается с х_кр(а). Если, например, неравенство г| > х_кр(ос) справедливо, гипотеза Н₀ отклоняется с вероятностью совершения ошибки, а и принимается гипотеза Н_ь т. е. при г| > х_кр(а) изделие признается годным. Если г| < х_кр(а), принимается гипотеза Н₀ — изделие бракуется. С ростом надежности у (уменьшением уровня значимости а) граница критической области отодвигается в область больших значений. Попасть в критическую область (признать изделие годным) становится менее вероятно.

Одним из основных статистических критериев в теории гипотез является критерий, построенный на отношении функций правдоподобия.

• [1] Крамар Г. Математические методы статистики. М.: Мир, 1975.