Стационарное уравнение Шредингера

Для многих важных физических задач общее уравнение Шредингера можно упростить. Рассмотрим случай, когда силовое поле стационарно, это означает, что функция U = 11{х, у, z) не зависит явно от времени и имеет смысл потенциальной энергии. В случае стационарного поля полная энергия Е является константой. Будем искать решение уравнения Шредингера в виде произведения двух функций, одна из которых — функция только координат, другая — только времени, причем зависимость от времени выражается.

(г)

но аналогии с сомножителем волны де Бройля множителем ехр —El, так.

I ^h)

что.

Сразу заметим, что квадрат модуля зависящей от времени комплексной экспоненты равен единице, откуда следует вывод, что квадраты модулей полной и координатной волновых функций совпадают. Подставляя это решение в общее уравнение Шредингера, получим для координатной волновой функции уравнение.

i |.

Поделив на множитель ехр —Et, после преобразований получим ста-

I ^А

ционарное уравнение Шредингера

В соответствии с теорией это дифференциальное уравнение имеет бесчисленное множество решений, из которых посредством наложения естественных ограничений на волновые функции отбирают решения, имеющие физический смысл. Существенно, что обычно решения существуют не при любых значениях параметра Е. Значения энергии /;, при которых существуют решения уравнения Шредингера, называют собственными. Собственные значения энергии могут образовывать как непрерывный, так и дискретный ряд. В первом случае говорят о непрерывном, или сплошном, спектре, во втором — о дискретном спектре. Волновые функции, которые соответствуют собственным значениям энергии, называют собственными функциями.

Стационарное уравнение Шредингера для одномерной задачи, очевидно, получается путем замены оператора Лапласа на вторую производную по координате и имеет вид.