Математическая модель прибора для статического режима измерений

Опишем в математической форме преобразования измерительного сигнала, полагая, что температура контролируемой среды х совпадает с температурой терморезистора и не изменяется во времени.

Зависимость сопротивления металлического терморезистора R_x от его температуры хс достаточной для практики точностью описывается отрезком степенного ряда.

где Rq — сопротивление проволоки при температуре х = 0 °C, зависящее от ее размеров и свойств материала; k_vk₂,…, k_n — постоянные коэффициенты, значения которых (как и степень полинома п) определяют по результатам градуировки терморезистора. В этом случае зависимость (3.1) называется градуировочной характеристикой терморезистора. Чем больше степень полинома, тем точнее эта зависимость отражает статическую характеристику терморезистора.

В формуле (3.1) переменная х может обозначать отклонение температуры контролируемой среды 0 от некоторой температуры 0_О, принимаемой за нормальную температуру (например, от температуры 0_О = 20°С). В этом случае х = 0- 0_О, R_{) — сопротивление терморезистора при нормальной температуре 0_О.

В диапазоне средних температур (-50…+ 200°С) для медных терморезисторов можно принять k_{ = 4,28 -10^_3oC^_1, k₂ =k₃ = … = 0, т. е. статическую характеристику медного терморезистора в этом диапазоне температур можно считать линейной. При увеличении температуры на 10 °C сопротивление такого терморезистора увеличивается на 4,28%. Для платиновых терморезисторов к_х = 3,96 847? 10^-3оС^-1, k₂ = -5,847 • 10^-7оС^-2, k₃ — /г₄ =… — О, для никелевых — к_{ = 5,86 • 10^_3°C^_1, к₂ = 8 • 10^-6оС^-2, к₃=к_А =… — 0, т. е. их статические характеристики в диапазоне средних температур нелинейные.

Более подробные сведения о результатах градуировки терморезисторов общепромышленного назначения можно найти из справочных данных. Эти данные следует рассматривать как усредненные для множества терморезисторов, которые могут различаться (например, составом микропримесей теплочувствительного материала). Поэтому при высоких требованиях к точности результатов измерений пользуются индивидуальной градуировочной статической характеристикой терморезистора, которая в общем случае является нелинейной. Однако в целях упрощения последующего анализа и, считая, что диапазон изменения температуры контролируемой среды незначительный, будем пренебрегать нелинейными членами в формуле (3.1), т. е. считать, что зависимость сопротивления терморезистора R_x от измеряемой температуры х имеет вид.

где R^, k{ — постоянные коэффициенты. Их значения можно определить, рассматривая (3.2) как уравнение аппроксимирующей прямой — прямой наименьших модулей или прямой наименьших квадратов (см. параграф 4.5).

Отклонение фактической характеристики терморезистора (3.1) от линейной характеристики (3.2) можно учесть в значении погрешности от нелинейности статической характеристики прибора у" при расчете суммарной погрешности измерений (см. подпараграф 9.2.5). Если эта погрешность превышает допустимое значение, то ее уменьшение — одна из задач проектирования прибора.

Примем, что сопротивления остальных трех плеч моста не зависят от температуры х и равны друг другу, но величине, а их номинальные значения R равны начальному сопротивлению терморезистора, т. е. R = Rq. В этом случае мост является равноплечим. При температуре х = 0 °C (когда R_x = Rq = R) мост оказывается уравновешенным, и напряжение U_M в его измерительной диагонали ab равно нулю. Если R_x. Ф R, то мост разбалансирован. Тогда в измерительной диагонали моста появляется напряжение U_M, которое является частью напряжения питания моста U_n. Величина и знак этого напряжения зависят от степени и направления разбаланса моста, т. е. от величины сопротивления терморезистора R_x. Для принятой схемы включения терморезистора эта зависимость имеет вид.

где R_n — сопротивление нагрузки моста (входное сопротивление усилителя).

Напряжение U_u с помощью усилителя У с коэффициентом усиления по напряжению к_у усиливается до величины и подается на указатель УК, со шкалы которого считывается показание прибора х. Роль указателя выполняет вольтметр, шкала которого отградуирована в единицах температуры контролируемой среды. Если шкала указателя равномерная, то его показания пропорциональны напряжению [/_в, т. е.

где k_B — коэффициент передачи вольтметра.

Цепь четырех рассмотренных преобразований можно представить последовательностью пяти физических величин x—>R_x—>U_M—>U_B—>x или структурной схемой прибора в виде последовательного соединения четырех звеньев (рис. 3.4): терморезистора (ТР) с характеристикой R ⁼ fx (^x)> СВ с характеристикой U_M = f_M(R_x), усилителя У с характеристикой U_B =k_yU_M и указателя (Ук) с характеристикой х = k_BU_B.

Рис. 3.4. Структурная схема прибора для статического режима измерений.

Полученная схема является условным графическим изображением структурно-математической модели прибора для статического режима измерений. Первые два звена этой схемы имеют нелинейные статические характеристики, последние два — линейные пропорциональные характеристики. Все звенья прибора считаются безынерционными.

Проведем первичный анализ полученных результатов. Осуществляя подстановки (3.2) —> (3.3) —> (3.4) —> (3.5), можно определить общую расчетную статическую характеристику прибора, т. е. наити зависимость его показаний х от измеряемой температуры х. Вследствие нелинейности статической характеристики схемы включения (3.3) эта характеристика также оказывается нелинейной. С учетом допущения (3.2) она приводится к виду.

постоянные коэффициенты, зависящие только от параметров.

где а, b — прибора В то же время показания термометра в каждой точке диапазона измерений должны быть равны измеряемой температуре. Поэтому желаемая статическая характеристика прибора имеет вид.

Следовательно, выбор параметров прибора следует подчинить как минимум двум условиям (см. (3.6)): а = 1 и b-О. Выполнение первого условия можно всегда обеспечить, подбирая соответствующее значение коэффициента усиления усилителя по напряжению k_y (см. (3.7)). Второе условие выполнить строго невозможно, так как Поэтому выбор коэффициентов а, b и, следовательно, физических параметров прибора, влияющих на значения этих коэффициентов, следует подчинить следующему условию: погрешность приближения не должна превышать заданного значения.

Эта погрешность представляет собой разность между расчетной и желаемой статическими характеристиками прибора.

Если дг" = 0, то необходимые значения коэффициентов а, b зависимости (3.6) можно вычислить по формулам [28].

В этом случае желаемая и расчетная статические характеристики прибора такие, как показано на рис. 3.5.

Рис. 35. Статическая характеристика прибора

где у_д — допустимое значение приведенной погрешности приближения (3.9); 0 — безразмерный параметр, зависящий только от у_д,.

Желаемая характеристика (3.8) показана пунктиром, расчетная характеристика (3.6) — сплошной кривой. При выполнении соотношений (3.10) погрешность приближения (3.9) равномерно распределена по диапазону измерений х_и <�а;<�л'_в, т. е. ее максимальные значения Д (и Д₂ равны друг другу. Если х_и *0, то лучше отказаться от равноплечего моста (условия R = /у')), так как в этом случае можно добиться более равномерного распределения погрешности приближения (3.9) по диапазону измерений [28].

Из проведенного краткого анализа видно, что наличие структурно-математической модели ИУ (в данном случае — его расчетной статической характеристики (3.6)) позволяет непосредственно перейти к решению задач проектирования прибора, т. е. выбору таких значений его параметров, при которых прибор имеет желаемые выходные характеристики (в данном случае — желаемую статическую характеристику (3.8)).