Решение двумерных дифференциальных уравнений параболического типа, содержащих первые производные по координатам

В разделе 1.6 мы рассматривали математическую модель трубчатого реактора с продольным и поперечным перемешиванием, в котором протекает простая необратимая реакция. Баланс по концентрации исходного реагента для нестационарного режима имеет вид:

где с — концентрация исходного реагента; г — координата по радиусу реактора; х — координата по длине реактора; k — константа скорости химической реакции; v — линейная скорость потока; D_L, D_R — коэффициенты диффузии в продольном и поперечном направлениях.

Данное уравнение относится к двумерным дифференциальным уравнениям параболического типа. В то же время оно содержит производные первого порядка по координатам х и г. Методы численного решения подобных уравнений аналогичны методам, рассмотренным нами в главе 7. Однако эта аналогия будет выполняться только при правильном выборе конечных разностей для аппроксимации производных дс/дх и дс/дг.

В качестве примера рассмотрим уравнение.

для которого запишем схему расщепления, соблюдая правило выбора конечных разностей для аппроксимации производных ди/дх и ди/ду:

Каждая из подсхем является абсолютно устойчивой и решается с помощью метода прогонки. Коэффициенты, соответствующие уравнению (4.10), имеют вид:

— для первой подсхемы.

— для второй подсхемы.

Легко видеть, что для обеих подсхем достаточное условие сходимости прогонки (4.16) выполняется. Алгоритм решения разностной схемы.

(8.18) такой же, как и при отсутствии производных ди/бх и ди/ду в исходном дифференциальном уравнении (см. раздел 7.6.3).

Рассмотрим двумерное дифференциальное уравнение параболического типа, в котором отсутствует производная второго порядка по одной из координат:

Схема расщепления для уравнения (8.19) имеет вид:

Первая подсхема в схеме (8.20) является аналогом неявной разностной схемы для одномерного дифференциального уравнения в частных производных первого порядка; она абсолютно устойчива и решается с помощью рекуррентного соотношения:

Вторая подсхема в схеме (8.20) является аналогом неявной разностной схемы для одномерного дифференциального уравнения параболического типа; она также абсолютно устойчива, но решается с помощью метода прогонки. Данное обстоятельство должно быть учтено при составлении алгоритма решения схемы расщепления (8.20), аппроксимирующей уравнение (8.19).

Запишем для уравнения (8.19) схему переменных направлений:

Обратим внимание на то обстоятельство, что отсутствие в уравнении.

(8.19) второй производной по координате х не оказывает влияния на методику аппроксимации второй производной по координате у.

Как и в случае схемы расщепления (8.20), обе подсхемы абсолютно устойчивы; первая подсхема решается с помощью рекуррентного соотношения:

вторая подсхема — с помощью метода прогонки.