Представление уравнений движения на основе энергетических функций

Поставленную задачу рассмотрим вначале порознь для механических и электрических систем.

Па рис. 2.1, а приведена простая механическая колебательная система с одной степенью свободы, которой отвечает координата v, определяющая положение массы т относительно точки равновесия. Масса т перемещается под действием силы упругости пружины, обладающей жесткостью К и возмущающей внешней силы F (/), которая в общем случае может быть функцией нс только времени /, но и положения у. В системе имеется демпфер, препятствующий движению с силой, пропорциональной скорости.

В соответствии со вторым законом Ньютона составим уравнение движения.

и, вводд другую форму для обозначения производных, преобразуем его к обычному виду.

Рис. 2.1. Механическая колебательная система (а) и ее аналоги: сила — напряжение (б), ana — ana ( .

Рассмотрим электрический контур (рис. 2.1, б), состоящий из последовательно соединенных индуктивности L, емкости С и сопротивления R, подключенных к зажимам источника напряжения u (t). Согласно второму закону Кирхгофа имеем.

Если ввести теперь новую переменную — электрический заряд Q, связанный с током контура интегральным соотношением.

то уравнение напряжений получит новую форму.

где 5= 1/С-инверсная емкость.

Уравнение (2.2) является аналогом уравнения механической колебательной системы, рассмотренной выше. При этом роль заданной механической силы здесь играет приложенное напряжение, а протекающий в контуре ток является аналогом скорости. Приведенную схему принято называть прямым аналогом или аналогом сила — напряжение.

При различной физической природе происходящих явлений мы в обоих случаях наблюдаем процесс преобразования одного вида энергии в другой: в первом происходит взаимный переход кинетической энергии, или энергии движения, в потенциальную энергию пружины, во втором — взаимный процесс преобразования энергии, накопленной в магнитном поле, в энергию электрического поля.

Перейдем от уравнений баланса сил и напряжений к уравнению баланса мощностей. Для этого умножим первое уравнение на скорость у = dy/ dt, а второе — на ток, представляющий скорость изменения заряда i = Q = dQ! dt. Замечая при этом, что.

для механического и электрического контуров получаем.

Мы наблюдаем полную аналогию двух систем — в последних соотношениях не только форма, но и размерность отдельных слагаемых оказываются одинаковой — ватты. В полученном балансе мощностей составляющие.

соответствуют кинетической и потенциальной энергиям, причем последняя представляет работу, связанную с деформацией пружины, а слагаемые

соответствуют коэнергии магнитного поля и энергии, запасенной в электрическом поле. Здесь П = Ху², П_е = RQ² — потери мощности на диссипативных элементах системы.

Рассматривая равенства (2.3), представляющие закон сохранения энергии, мы наблюдаем, что за вычетом потерь поступающая мощность затрачивается на изменение кинетической и потенциальной энергий в первом случае, магнитной коэнергии и энергии электрического поля — во втором.

Рассмотрим частный, но очень важный случай, когда внешняя сила и потери отсутствуют, т. с. мы имеем дело с консервативной системой, где движение осуществляется только под действием потенциальных сил. Тогда из уравнений баланса мощностей находим: для механической системы.

для электрической системы.

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

Рис. 2.2. Кинематическая схема поглотителя колебаний.

Дтя механической системы приведенные соотношения представляют известный закон сохранения механической энергии: W+ V = const. Очевидно, для электрической системы по аналогии подобная связь может быть названа законом сохранения электрической энергии, причем роль потенциальной и кинетической энергий играют соответственно энергия и коэнергия, запасенные в магнитном и электрическом полях.

Указанные энергетические функции, как видно из (2.3), дополненные функциями потерь на диссипативных элементах, позволяют получить уравнения движения системы.

Покажем возможность такого подхода на примере механической системы, используемой в качестве поглотителя колебаний в автомобилях [13]. Его кинематическая схема приведена на рис. 2.2.

Система имеет две степени свобода (полагая, что возможно только вертикальное перемещение). Выражения для энергий при выбранных координатах имеют вид.

Мощность, рассеиваемая в демпфере:

Пусть F_c(/) — сторонняя сила, действующая на массу т, тогда для баланса мощностей в системе имеем уравнение.

Подставляя в него выражения для энергетических функций, получим.

откуда в результате разделения переменных и приравнивания множителей в левой и правой частях баланса мощности при скоростях у, и у₂ исходное уравнение распадается на два:

из которых найдутся искомые уравнения движения.

Продемонстрируем рассматриваемый метод составления уравнений на примере схемы, приведенной на рис. 2.3. Уравнения для магнитной и электрической энергий:

Преобразуя приведенные выражения, вводя вместо токов ветвей контурные токи.

и обозначая их через скорости изменения зарядов i_k =Q_k, в результате получаем.

Так как подводимая мощность равна то уравнение баланса мощности запишется так:

Подставляя сюда выражения для W," и W_e, после /иффереш щрования членов, содержащих Q, = /, и Q₂ = /₂ в левой и правой частях возникшего уравнения, подучим.

Выражая далее заряды Q_k в следующем виде:

получим интегродифферешщ&тьные уравнения, описывающие поведение системы.

Рассмотренные примеры успешною применения составления уравнений на основе закона сохранения энергии касались, однако, систем, где возникающие силы имели одинаковую природу. Хорошо известна теорема сохранения механической энергии, которая упоминалась выше, но в электромеханическом преобразователе происходит переход одного вида энергии в другой — механической в электрическую. В результате возникает положение, когда появляются слагаемые, содержащие произведения от производных по независимым переменным, что затрудняет получение уравнений указанным выше методом.

Рис. 2.4. Схема однообмоточного электромеханического преобразователя энергии.

Чтобы понять суть возникающей проблемы, рассмотрим электромеханическую систему на рис. 2.4. Полагая, что движение якоря, имеющего массу т, возможно только по вертикали, в качестве независимой переменной д ля механической части примем координату у, начальное значение которой определяет положение якоря при обесточенной обмотке. В качестве независимой переменной для электрической части примем заряд Q. Энергетические функции системы Из уравнения сохранения энергии системы.

получаем

Затруднение при разделении переменных вызывает слагаемое.

Его можно представить как произведение механической силы магнитного пата на скорость или как произведение силы тока на электродвижущую силу, обусловленную скоростью движения катушки. В первом случае рассматриваемое слагаемое представляет мощность механической природы, во втором — электрической. Соответственно, возникают и различные уравнения, что само по себе свидетельствует об ошибочности полученных результатов. Об этом же говорит и сам вид уравнений. В первом случае имеем.

где на электрической стороне отсутствует электродвижущая сила, обусловленная движением (скоростью) — необходимым атрибутом электромеханического преобразования энергии. Во втором случае получим.

здесь на механической стороне нет пондеромоторных сил, что также не отражает процесс преобразования энергии.

Патученные результаты говорят о том, что формальный подход к решению задачи, который хорошо работал для систем с однородной физической природой, здесь как будто оказался непригодным. Так как основа наших выводов — первое начало термодинамики, которое справедливо во всех случаях, приведенная картина, очевидно, является результатом ошибки, совершаемой при разделении переменных.

Избавиться от возникшего затруднения позволяет следующая промежуточная операция: прибавим и вычтем в левой части уравнения (2.4) слагаемое

Она становится понятной, если вспомнить замечание, связанное с определением пондеромоторной силы (см. уравнение (1.68)). В результате получим после группировки следующее уравнение:

Замечая, что первое слагаемое в левой части приводится к виду.

а второе слагаемое есть выражение электромагнитной мощности

из уравнения (2.5) найдем уравнения движения системы Здесь очевидно, что

есть потокосцепление контура.

Полученная система уравнений адекватно описывает поведение системы.

Как известно, электрические системы обладают свойством дуальности, т. е. от цепей, где в качестве независимых переменных принимаются электрические заряды Q", можно перейти к цепям, где независимыми переменными являются потокосцепления у". В первом случае они определяют контурные токи, во втором — узловые потенциалы (напряжения):

Электрическая схема на рис. 2.4, преобразованная к новым переменным, приведена на рис. 2.5.

Рис. 2.5. Д у альные электрические цепи.

Продемонстрируем составление уравнений на ранее рассмотренном примере, приведенном на рис. 2.4, принимая в качестве независимых переменных перемещение сц =у и потокосцепление qi = i. Энергия механической и электрической частей равна.

где Г (у) = /Цу) — инверсная индуктивность. Дтя мощностей потерь имеем выражение.

Запишем уравнение баланса мощностей с учетом приведенных выражений для составляющих энергии и потерь:

откуда получаем систему уравнений

полностью совпадающих с получаемыми на основе уравнений Лагранжа, которые будут рассмотрены ниже.

В качестве другого примера рассмотрим электромеханическую систему конденсаторного микрофона (рис. 2.6). Диафрагма, имеющая массу т, преобразует звуковые колебания в механическое перемещение, измеряемое координатой х, относительно положения равновесия (при отсутствии напряжения). Пружина имеет жесткость (коэффициент упругости) к. Демпфирование движения диафрагмы воздушной прослойкой учитываем, вводя силу вязкого трения Ai.

Рис. 2.6. Схема конденсаторного микрофона.

Электрическая цепь образована источником напряжения, который заряжает конденсатор (одной из его пластин является диафрагма), а также резистором R и индуктивностью L. При колебаниях диафрагмы под действием звуковых юли изменяются емкость и, соответственно, электрический ток. Напряжение на резисторе U (f) воспроизводит колебания тока, соответствующие колебаниям диафрагмы, пропорциональным силе звука Дг). В первом приближении инверсная емкость определяется выражением.

где Я — эффективная площадь пластины, а? о — диэлектрическая проницаемость воздуха.

Примем в качестве обобщенных координат механическое перемещение X и полный заряд Q конденсатора. Тогда для кинетической W, потенциальной V энергий и энергий, запасенных в электрическом W_L, и магнитном IV, полях, имеем

Функция потерь.

Подставляя приведенные выражения в уравнения (2.19), запишем.

откуда, дифференцируя и разделяя переменные при х и Q, найдем.

Заметим, что составляющая от производной электрической энергии по перемещению соответствует силе связи — механической силе электрического поля (см. табл. 1.2):

Интересно наблюдать на приведенных примерах, что когда энергия, запасенная в магнитном или электрическом полях, представлена соответствующим выбором независимых переменных в форме потенциальной энергии, задача составления уравнений движения требует значительно меньших усилий.

Приведенное выше уравнение (2.5), на основе которого были получены уравнения движения для рассматриваемых примеров, легко обобщается для произвольного числа контуров п и пространственных координат ц" Для этого случая оно запишется.

где, напомним, коэнергия W'" есть функция токов /" и координат с/,.

Отсюда, приравнивая слагаемые при токах i" левой и правой частей уравнения, найдем уравнения напряжений для п контуров. Соответственно, приравнивая коэффициенты при скоростях ц, получим уравнение движения по координате q-,.