Простая биномиальная модель

Простая биномиальная модель исходит из предположения, что в момент окончания опциона базовая акция имеет одну из двух возможных цен. Предположим, что в исходный момент t0 цена базовой акции составляет S = 100 руб. По оценкам инвестора, в момент окончания опциона возможны варианты.

• 1. Цепа базовой акции с вероятностью Р может возрасти до и • S = 125 руб. (условная величина и (up) показывает прогнозируемый инвестором темп прироста стоимости базовой акции; в нашем примере величина и составляет 1,25).
• 2. Цена базовой акции с вероятностью (1 — Р) может упасть до d • S = 80 руб. (величина d (down) характеризует планируемый темп падения стоимости базовой акции, и в рассматриваемом примере d равно 0,8).

Эту ситуацию наглядно можно представить следующим образом (рис. 6.7).

Рис. 6.7. Возможные варианты изменения цены базовой акции.

Пусть опцион на покупку в исходный момент времени /() стоит С руб. Тогда в случае повышения цены базовой акции до величины и • S стоимость опциона в момент его исполнения составит величину Си, а при понижении до d • S — величину Cd. Согласно введенному правилу 3 рациональное исполнение опциона предполагает, что:

Данную ситуацию также можно представить на рис. 6.8.

Для простоты оценки будем полагать, что:

• • срок окончания опциона составляет один год;
• • цена исполнения опциона К = 100 руб.;
• • реальная безрисковая ставка процента Rf = 7%;
• • на рынке имеется безрисковая облигация стоимостью Рb = 100 руб., равной цене исполнения опциона К.

Тогда в нашем примере Си = 25 руб., a Cd = 0. Нам необходимо создать репликантный портфель из базовой акции и облигации, выплаты по которому в точности совпадут с будущими выплатами по опциону. В таком случае и стоимость такого портфеля будет равняться стоимости опциона.

Рис. 6.8. Возможные изменения цены опциона на покупку.

Подойдем к решению задачи следующим образом: имеются три вида инвестиционных объектов — акция, облигация и опцион на покупку. Цена акции в исходный момент составляет S = 100 руб., и ее возможные выплаты через год в момент окончания опциона и • S = 125 руб. и d • S = 80 руб. известны. Также можно вычислить, что 100 руб., инвестируемые в безрисковую облигацию с начисляемым процентом Rf = 7%, дадут через год 100 • (1 + Rf) = 107 руб.^[1] Наконец, известны и выплаты при реализации опциона через год: Си = 25 руб., если цена акции через год составит 125 руб., и Cd = 0 руб., когда цена акции снизится до 80 руб. Единственное, что неизвестно — цена опциона в момент t0.

Сведем для наглядности исходные данные в табл. 6.1.

Сформируем на основании этих данных репликантный портфель, выплаты по которому в точности соответствуют выплатам по опциону на покупку в момент его реализации через год. Предположим, что этот портфель состоит из Ns акций и Nb, облигаций. Если через год цепа акции возрастет до u•S= 125 руб., то данный портфель обеспечит инвестору выплаты в размере.

Ns • 125 + Nb • 107.

Таблица 6.1

Исходные данные для составления репликантного портфеля

Вид финансового инструмента.	Выплаты при варианте роста цены акции.	Выплаты при варианте паления цены акции.	Действующая цена.
Акция.
Облигация.
Опцион.

По условию, именно такие выплаты должен обеспечить при реализации через год опцион на покупку. Иными словами:

Если через год цена акции упадет до , то выплаты по репликантному портфелю составят.

и эта величина должна равняться отдаче опциона при его реализации через год:

Решая эти два уравнения с двумя неизвестными, получим.

Что означают эти цифры с финансовой точки зрения? Репликантный портфель создается следующим образом: инвестор приобретает 0,5556 базовой акции за свои деньги и коротко продает 0,4154 безрисковой облигации (инвестирование доли «-0,4154» в облигацию стоимостью 100 руб. означает, что инвестор коротко продал безрисковую облигацию на сумму 41,54 руб., или, что равнозначно, занял 41,54 руб. по безрисковой ставке ).

Подсчитаем отдачу нашего репликантного портфеля. Для случая роста цены акции до и • S = 125 руб. имеем.

Для случая снижения цены акции до

т.е. путем комбинирования базовой акции и безрисковой облигации мы получили портфель, дающий инвестору точно такую же отдачу, как и опцион на покупку. Но тогда и стоимость такого портфеля в исходный момент t0 должна равняться стоимости опциона. Стоимость репликантного портфеля равна: 55,56 руб. (столько нужно денег, чтобы купить 0,5556 акции стоимостью 100 руб.) минус 41,54 руб. (столько инвестор получил за счет короткой продажи безрисковой облигации, что он использовал на покупку акции). Итого стоимость опциона на покупку равна (55,56 — 41,54) = 14,02 руб.

В общем случае стоимость СЕ европейского опциона на покупку составляет.

где и S — цены безрисковой облигации и базовой акции; и - количество акций и облигаций соответственно, которые необходимо объединить в репликантный портфель, чтобы он давал точно такие же выплаты, как и опцион на покупку в момент его реализации при истечении срока опциона.

Если инвестор сформировал репликантный портфель, то при росте цены базовой акции до стоимость опциона в момент его исполнения составит , а при снижении цены базовой акции до стоимость опциона будет . Иными словами:

Отсюда.

Если инвестор будет приобретать данное количество базовых акций, то он получит одинаковую отдачу от репликантного портфеля вне зависимости от колебаний цены базовой акции:

Иными словами, если в нашем случае инвестор создаст портфель за счет продажи за 14,02 руб. опциона на покупку и приобретет Ns = 0,5556 базовых акций на сумму 55,56 руб., то он получит одну и ту же сумму выигрыша от портфеля вне зависимости от изменений цены базовой акции:

• • если в момент окончания опциона цена базовой акции составит и • S = 125 руб., то портфель обеспечит доход: -25 + + 125 0,5556 = 44,45 руб.;
• • если цена базовой акции станет d • S = 80 руб., то портфель обеспечит получение суммы: 0 + 80 • 0,5556 = 44,45 руб.

Величина называется коэффициентом хеджирования, или опционной дельтой. В нашем случае коэффициент хеджирования h = 0,5556. Стоимость каждого опциона определяется h долями стоимости акции. Поэтому можно сказать, что каждый раз, когда стоимость основной акции изменяется на 1 руб., стоимость опциона изменяется на h руб.

Как только что было установлено,.

Кроме того, инвестор может приобрести безрисковую облигацию при действующей ставке процента Rf. Тогда, если инвестор:

• 1) продаст опцион па покупку;
• 2) купит h акций;
• 3) приобретет облигацию на сумму (или, что равнозначно, на сумму ), то сформированный портфель: (или ) в момент исполнения опциона обеспечит получение следующего дохода:
  • а) если цена базовой акции составит и • S: -Си + h — и • S + Си — h • и • S = 0;
  • б) если цена базовой акции составит d • S: —Cd + h • d • S + Cu-h•d•S= 0.

Но если портфель в момент окончания опциона стоит 0 руб., тогда и в начальный момент формирования портфеля он тоже должен стоит 0 руб.:

Если подставить в данную формулу выражение для коэффициента хеджирования h, провести необходимые вычисления, то получим выражение для стоимости европейского опциона на покупку за один шаг до его исполнения:

Введем обозначение.

Тогда формулу для определения цены европейского опциона на покупку за один шаг до его исполнения можно представить следующим образом:

(6.6).

Величину? можно интерпретировать как аналог вероятности, нейтральной к риску, поскольку она зависит от субъективной оценки инвестором будущих пределов изменения цен базовой акции и от величины безрисковой ставки процента. Значит, цена европейского опциона на покупку за один шаг до его исполнения — это приведенная стоимость будущей стоимости опциона при вероятности ?.

• [1] Поскольку биномиальная модель дискретна, то безрисковая ставка процента должна выбираться дискретной, превалирующей в данный момент времени.