Теоремы о неустойчивости
Теорема 4.11 (первая теорема Ляпунова о неустойчивости). Положение равновесия х = 0 автономной системы (4.12) неустойчиво, если существует функция V (х) такая, что ее производная V (х) в силу уравнения этой системы является положительно определенной функцией и в любой малой окрестности начала координат найдется точка х = х°, в которой функция V (x) принимает положительное значение. Выбранная… Читать ещё >
Теоремы о неустойчивости (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Теоремы о неустойчивости положения равновесия автономных систем вытекают из аналогичных теорем о неустойчивости положения равновесия неавтономных систем.
Теорема 4.11 (первая теорема Ляпунова о неустойчивости). Положение равновесия х = 0 автономной системы (4.12) неустойчиво, если существует функция V(х) такая, что ее производная V(х) в силу уравнения этой системы является положительно определенной функцией и в любой малой окрестности начала координат найдется точка х = х°, в которой функция V (x) принимает положительное значение.
Пр им ер 4.8. Исследовать устойчивость положения равновесия х = О системы 
Решение. В качестве кандидата на функцию Ляпунова рассмотрим квадратичную форму 
Производная от этой функции по времени в силу заданных уравнений имеет вид.
Если положить а = ½, то получим 
Выбранная функция Р (х) в любой малой окрестности принимает положительное значение, ее производная V (x) является положительно определенной функцией. Следовательно, по теореме 4.11 положение равновесия рассматриваемой системы неустойчиво.
Теорема 4.12 (вторая теорема Ляпунова о неустойчивости). Положение равновесия х = О автономной системы (4.12) неустойчиво, если существует функция V (х) такая, что ее производная V(х) в силу уравнений этой системы имеет вид
где а > 0, ш (х) — положительно полуопределенная функция, и в любой малой окрестности начала координат найдется точка х = х°, в которой функция К (х) принимает положительное значение.