Вторая каноническая форма

Рассмотрим второй способ перехода от передаточной функции (3.63) к описанию в переменных состояния, для чего схематично изобразим структуру системы типа (3.65) (рис. 3.42).

Рис. 3.42. Структурное представление передаточной функции (3.65).

Ее операторные уравнения имеют вид.

Аналогично предыдущему случаю представим первое уравнение (3.68) в виде цепочки из п интеграторов с обратными связями, а входное воздействие z сформируем в соответствии со вторым уравнением (3.68) в виде суммы управления и и т его производных (рис. 3.43).

Рис. 3.43. Схема, соответствующая уравнениям (3.68).

Перенося точку приложения сигнала через звено ближе к выходу, в результате структурных преобразований получим структурную схему системы, представленную на рис. 3.44.

Рис. 3.44. Структурная схема, соответствующая передаточной функции (3.65).

Как видим, и в этом случае структурная схема, соответствующая передаточной функции (3.65), состоит из цепочки п интеграторов. В обратной связи также располагаются коэффициенты характеристического полинома, а в прямой связи — коэффициенты полинома ее числителя.

Снова выберем в качестве переменных состояния выходные величины интеграторов и запишем относительно них дифференциальные уравнения состояния и уравнение выхода:

По уравнениям (3.69) определим матрицы:

Модель системы в переменных состояния типа (3.69) будем называть второй канонической формой.

Отметим, что матрица А содержит коэффициенты знаменателя исходной передаточной функции (3.63). Коэффициенты числителя передаточной функции (3.63) содержит матрица С (в случае первой канонической формы) или матрица В (в случае второй канонической формы). Поэтому уравнения состояния, соответствующие двум каноническим представлениям системы, могут быть записаны непосредственно по передаточной функции (3.63) без перехода к структурным схемам, приведенным на рис. 3.41 и 3.44.

Как видим, переход от передаточной функции к описанию в переменных состояния является задачей неоднозначной. Мы рассмотрели варианты перехода к каноническому описанию, которые чаще других используются в теории автоматического управления.

Пример 3.4. Получить два варианта канонического описания и соответствующих структурных схем для системы, модель которой имеет вид.

Используем представление передаточной функции в виде (3.64) и запишем для нее операторные уравнения:

от которых перейдем к структурной схеме (рис. 3.45).

На основании этой структурной схемы запишем уравнения первой канонической формы в виде

Для перехода ко второй канонической форме представим передаточную функцию системы в виде (3.65) и запишем для нес следующие операторные уравнения:

которым соответствует структурная схема, представленная на рис. 3.46.

Рис. 3.45. Структурная схема, соответствующая первой канонической форме.

Рис. 3.46. Структурная схема, соответствующая второй канонической форме.

Запишем теперь модель системы в виде второй канонической формы: