Замена несинусоидальных токов и напряжений эквивалентными синусоидальными

При изучении некоторых простейших свойств нелинейных электрических цепей (см. гл. 15) несинусоидальные токи и напряжения, не содержащие постоянных составляющих и в которых высшие гармоники выражены слабо, заменяют эквивалентными синусоидальными. Действующее значение синусоидального тока принимают равным действующему значению заменяемого несинусоидального тока, а действующее значение синусоидального напряжения — равным действующему значению несинусоидального напряжения.

Сдвиг фаз ф_эк между эквивалентными синусоидами напряжения и тока берут таким, чтобы активная мощность эквивалентного синусоидального тока была равна активной мощности несинусоидального тока, т. е.

Пример 70.

Заменить несинусоидальный ток и напряжение из примера 69 эквивалентными и найти сдвиг фаз ф_эк между ними.

Решение. Действующее значение синусоидального напряжения U= 18,55 В; действующее значение синусоидального тока I- 2,31 A; cos ф_эк = 35,5/(18,55 х х 2,31) = 0,828; ф_эк = 34°.

Особенности работы трехфазных систем, вызываемых гармониками, кратными трем

ЭДС каждой фазы трехфазного трансформатора или трехфазного генератора часто оказываются несинусоидальными. Каждая ЭДС (е_А, е_в, е_с) повторяет по форме остальные со сдвигом на одну треть периода.

Т/3 и может быть разложена на гармоники. Постоянная составляющая обычно отсутствует.

Пусть /с-гармоника ЭДС фазы А

Так как ЭДС фазы В отстает от ЭДС фазы А на Т/3, а ЭДС фазы С опережает ЭДС фазы А на Т/3, то /с-гармоники ЭДС фаз В и С соответственно.

Если к = 1, 4, 7, 10, то /с-гармоника ЭДС фазы В отстает на 120° от /с-гармоники ЭДС фазы А. Следовательно, 1-, 4-, 7-, 10-я гармоники образуют систему прямой последовательности фаз (что понимают под прямой последовательностью фаз — см. параграф 6.20).

Если к = 2,5, 8,11, то /с-гармоника ЭДС фазы В опережает /с-гармонику ЭДС фазы А на 120°. Следовательно, 2-, 5-, 8-я и т. д. гармоники образуют систему обратной последовательности.

Гармоники, кратные трем (к = 3, 6, 9, …), образуют систему нулевой последовательности, т. е. третьи гармоники ЭДС всех трех фаз совпадают по фазе (3 • 120° = 360°):

Шестые гармоники ЭДС также совпадают по фазе и т. д.

Совпадение по фазе третьих гармоник ЭДС всех трех фаз проиллюстрируем графически. На рис. 7.6 ЭДС е_А, е_в, е_с представляют собой три фазные ЭДС трехфазного генератора. Они имеют прямоугольную форму и сдвинуты относительно друг друга на одну треть периода (Т/3) основной частоты. На том же рисунке показаны 1-я и 3-я гармоники каждой ЭДС.

Из рисунка видно, что третьи гармоники ЭДС действительно находятся в фазе.

Рассмотрим особенности работы трехфазных систем, вызываемые гармониками, кратными трем.

1. При соединении обмоток трехфазного генератора (трехфазного трансформатора) треугольником (рис. 7.7, а) по ним протекают токи гармоник, кратных трем, даже при отсутствии внешней нагрузки. Алгебраическая сумма третьих гармоник ЭДС равна ЗЕ3^[1]. Обозначим сопротивление обмоток каждой фазы для третьей гармоники Z₃, тогда.

ЗЁ Ё

ток третьей гармоники в треугольнике /₃ =—- = —. Аналогично, ток.

• 3Z₃ Z₃
• — г⁶ т?

шестой гармоники 7₆ = —, где Е₆ — действующее значение шестой гар;

^z6

моники фазовой ЭДС; Z₆ — сопротивление фазы для шестой гармоники.

Рис. 7.6.

Рис. 7.7.

Действующее значение тока, протекающего по замкнутому треугольнику в схеме на рис, 7.7, а:

2. Если соединить обмотки трехфазного генератора (трехфазного трансформатора) в открытый треугольник (рис. 7.7, б), то при наличии в фазовых ЭДС гармоник, кратных трем, на зажимах тип будет напряжение, равное сумме ЭДС гармоник, кратных трем:

Показание вольтметра в схеме на рис. 7.7, б.

3. В линейном напряжении независимо от того, звездой или треугольником соединены обмотки генератора (трансформатора), гармоники, кратные трем, отсутствуют, если нагрузка равномерна.

Рассмотрим сначала схему соединения трехфазного источника ЭДС треугольником (см. рис. 7.7, а) при отсутствии внешней нагрузки. Обозначив ф_ЛЗ — потенциал точки Л, ф_вз — потенциал точки В по третьей гармонике, получим ф_АЗ = ф_вз + ?₃ — 7₃Z₃. Но Ё₃ = i₃Z₃; следовательно, ф_АЗ = ф_вз. При наличии равномерной нагрузки, соединенной треугольником, каждая фаза генератора (трансформатора) и параллельно ей присоединенная нагрузка могут быть заменены эквивалентной ветвью, с некоторой ЭДС Ё₃ и сопротивлением Z₃. На полученную схему можно распространить вывод, сделанный для случая отсутствия внешней нагрузки.

При соединении звездой трехфазного источника ЭДС (рис. 7.8) линейное напряжение третьей гармоники равно разности соответствующих фазовых напряжений. Так как третьи гармоники в фазовых напряжениях совпадают по фазе, то при составлении этой разности они вычитаются.

Рис. 7.8.

В фазовом напряжении могут присутствовать все гармоники (постоянная составляющая обычно отсутствует). Следовательно, действующее значение фазового напряжения

В линейном напряжении схемы (см. рис. 7.8) отсутствуют гармоники, кратные трем, поэтому.

Отношение U_n/U^ < V3, если есть гармоники, кратные трем.

4. При соединении генератора и равномерной нагрузки звездой и отсутствии нулевого провода токи третьих и других гармоник нулевой последовательности не могут протекать по линейным проводам. Поэтому между нулевыми точками приемника 0' и генератора 0 (рис. 7.9) при Z₀ = °° возникает напряжение.

действующее значение которого.

Рис. 7.9.

5. Если в схеме «звезда — звезда» при равномерной нагрузке фаз сопротивление нагрузки для третьей гармоники обозначить Z_h3, а сопротивление нулевого провода для третьей гармоники — Z₀₃ (см. рис. 7.9), то по нулевому проводу будет протекать ток третьей гармоники:

По каждому из линейных проводов будет протекать ток третьей гармоники 7₀з /3.

Аналогично находят токи и других гармоник, кратных трем.

Пример 71.

Мгновенное значение напряжения фазы Л трехфазного генератора.

Определить мгновенное значение линейного напряжения при соединении генератора звездой.

Решение. В линейном напряжении третья гармоника отсутствует. Первые гармоники фаз Л и В по фазе сдвинуты на 120°. Поэтому линейное напряжение Uдя первой гармоники в л/з раз больше фазового напряжения первой гармоники U_A и на 30° опережает его по фазе.

Одиннадцатая гармоника (обратная последовательность фаз) линейного напряжения отстает по фазе от одиннадцатой гармоники напряжения фазы А на 30° и в л/з раз больше ее:

Пример 72.

ЭДС фазы, А в схеме (рис. 7.10) е_А = 170sincot + 80cos3cot + 34cos9cot В; R = 9 Ом; coL = 2 Ом.

Определить показания всех приборов (приборы электродинамической системы).

Рис. 7.10.

Решение. Действующие значения ЭДС.

По линейным проводам течет первая гармоника тока:

Показания вольтметров:

Пример 73.

ЭДС каждой фазы генератора (рис. 7.11) изменяется по трапецеидальному закону: а_т = 220 В; а = Г/36; нагрузка равномерная; R = 6 Ом; соL = 0,5 Ом; 1/(ооС) = 12 Ом. Определить мгновенное значение тока по нулевому проводу, пренебрегая гармониками тока выше седьмой.

Рис. 7.11.

Решение. С помощью табл. 7.1 запишем разложение трапецеидальной ЭДС: Следовательно,

По нулевому проводу протекает только третья гармоника тока:

где ?₃ = 89, ЗЛ/2 = 63,3 В; Z₀₃ = 1,5;'; Z_h3 = 6 — 4Z_h3/3 = 2 -;1,33; Мгновенное значение тока i₀₃ = 44,8sin (3wt — 4°40') А.

• [1] Алгебраическая сумма первых гармоник ЭДС и всех гармоник ЭДС, не кратныхтрем, равна нулю, поэтому от перечисленных гармоник при отсутствии нагрузки по замкнутому треугольнику ток протекать не будет.