Формула ЛП. Логика

• • выполнима, если и только если она истинна хотя бы в одной интерпретации;
• • логически истинна, если и только если истинна во всех интерпретациях;
• • логически ложна, т. е. невыполнима, если и только если она ложна во всех интерпретациях.

Рассмотрим несколько примеров интерпретации формул Л П в универсуме с фиксированным числом индивидов.

Пример Вычислить значение истинности следующих формул в U = {a, b}, где а = «Сократ», b = «Платон», Рху = *хстарше г/". При решении первых двух задач указаны результаты и истинностные значения расширений рассматриваемых формул.

• 1. (х)(у)Рху — (у)Рау & (у)РЬу
• (расширение формулы (х)[(у)Рху)
• — ((Раа & Pab) & (Pba & Pbb))
• (расширение формулы (х)(у)Рху)

" ((F & Т) & (F & F))

(значения истинности элементов расширения).

«(F&f).

• — F(значение истинности формулы (х)(у)Рху)
• 2. (Ех)(у)Рху — (у)Рау v (у)РЬу
• (расширение (Ех)[(у)Рху ])
• — ((Paa & Раб) v (Pba & Pbb))
• (расширение формулы (Ex)(y)Pxy)
• -((F& T)v (.F&F))
• (значения истинности элементов расширения)
• -(FvF)
• — /-'(значение истинности формулы (Ех)(у)Рху)
• 3. (х)(Еу)Рху = (у)Рау & (у)РЬу
• — ((Paa v Раб) & (Pba v Pbb))
• -((fvT)&(Pvf))

= (Г&Р).

«F.

4. (Ех)(Еу)Рху — (у)Рау v (у)Рбу.

" ((Раа v Раб) v (Рба v Рбб)).

= ((Pv7>v (Pv б)).

• -(TvF)
• — Г

Объяснение. Известно, что Сократ был старше Платона. Поэтому невозможно, чтобы Платон был одного возраста с Сократом или старше Сократа. Кроме того, по очевидным причинам ни Сократ, ни Платон не могли быть старше самих себя. Следовательно, из всех возможных упорядоченных пар констант а и Ь, образующих расширение двухместного предиката Рху, только пара Pab выполняет предикат Рху. Значит, Pab получает значение «истина», а все остальные упорядоченные пары — «ложь».

По определению, квантор общности вводит конъюнкцию элементов расширения предиката Рху, а квантор существования — их дизъюнкцию. Согласно правилам для конъюнкции и дизъюнкции вычисляется значение истинности каждой формулы в целом.

В итоге только формула (Ех)(Еу)Рху истинна в указанном универсуме при заданном значении констант и предикатного символа. Значит, она истинна в данной интерпретации и тем самым выполнима, а все остальные формулы в этой интерпретации ложны.