Примеры постановки задач оптимального управления

1. Задачи оптимального управления летательным аппаратом (ЛА). Рассмотрим упрощенное уравнение движения ЛА в вертикальной плоскости (рис. 9.2).

или, в проекциях на горизонтальную? и вертикальную г] оси неподвижной системы координат,.

где т = mf + m_p(t) — масса ЛА; m_p(t) — реактивная масса; v = (? fj)^T — скорость Л А; р =.

= (р Р2)^Т — реактивная сила; q = (Т — равнодействующая всех остальных сил (сила тяжести, сила сопротивления воздуха и др.). Выражение для реактивной силы имеет вид.

Отношение реактивной силы к массе ЛА принимается за управление. Траектория Л, А не должна пересекать земную поверхность. Поэтому должно выполнятся ограничение на фазовый вектор где w = (w W2)^T — относительная скорость отделяющихся частиц, |w| = fw + — евклидова норма, |га| = |m_p| — секундный расход реактивной массы.

Введя обозначения.

Теперь рассмотрим различные постановки задачи, связанные с ЛА. Задача 1 (вывод Л, А в заданную точку фазового пространства за минимальное время). Пусть реактивная сила ограничена: |р| ^ р_т. Требуется вывести Л, А из фиксированной начальной точки х (*о) = х° в фиксированную конечную точку х (?/) = х-^ за минимальное время. Эта задача является задачей оптимального управления с уравнением объекта (9.5), (9.6), фазовым ограничением (9.7), ограничением на управление краевыми условиями х (*о) = х°, х (2/) = х^ и критерием оптимальности J = tf — to. Здесь to — начальный момент (будем его считать фиксированным, т. е. заданным); ?/ — конечный момент (момент достижения Л, А точки х-^), который заранее не известен, т. е. является нефиксированным.

Задача 2 (вывод Л, А в заданную точку геометрического пространства за минимальное время). При ограничении на управление (9.8) требуется вывести ЛА из заданной точки х (^о) = х° фазового пространства в заданную точку (zi (?/), яг (*/)) = {^хч^х2) ^на вертикальной плоскости «геометрического» пространства за минимальное время. В данной задаче левый конец x (to) фиксирован (т. е. положение и скорость ЛА в момент to заданы), правый конец x (tf) не фиксирован: в конечный момент tf положение Л, А на вертикальной плоскости задано, на его скорость никаких ограничений не наложено.

Задача 2 оптимального управления отличается от задачи 1 только условием на правом конце траектории. В задаче 1 каждое из множеств Хо и Xf состоит из одной точки, а в задаче 2 множество Xq состоит из одной точки, а множество X/ — из точек двухмерной плоскости фазового пространства, определяемой уравнениями Х = = х{, Х2 = х^;

Задача 3 (перевод ЛА на максимальную дальность). В данном случае важно учесть конечность реактивной массы, так как дальность полета зависит прежде всего от количества реактивной массы (топлива). В силу того, что

конечность топлива накладывает на управление следующее ограничение:

Здесь тпо = m (to) и т/ = m (tf).

Ограничение такого типа называется изопериметрическим. Конечный момент tf определяется из условия 22 (t/) = 0 (высота равна нулю). Задача перевода Л, А на максимальную дальность формулируется следующим образом: при заданном уравнении объекта (9.5), (9.6), фазовом ограничении (9.7) и краевых условиях x (to) = х°, 2 г (^/) = О определить управление, при котором функционал J = —Х (tf) принимает минимальное значение. В этом случае множество Хо состоит из одной точки, а множество Xf — из точек многообразия, определяемого уравнением Х2 = 0.

Задача 4 (вывод ЛА на максимальную высоту). В данном случае также важно учитывать ограниченность топлива. Кроме того, конечный момент tf определяется условием ?4(tf) =0 (вертикальная составляющая скорости равна нулю). Задача оптимального управления формулируется точно так же, как и задача 3, но при краевых условиях х (*о) = х°, 24(^/) = 0, и критерий оптимальности J = -22(tf).

Сделаем ряд общих замечаний. Естественно, реактивная масса всегда ограничена, но тем не менее это ограничение не учитывалось при формулировке задач 1 и 2. Принималось, что топлива достаточно для достижения целей, рассматриваемых в этих задачах. При формулировке задач 3 и 4 считалось несущественным и не учитывалось ограничение на величину управления, хотя оно всегда имеет место. В то же время в задачах 1 и 2 его нельзя не учитывать, так как это привело бы к нереализуемому оптимальному управлению и*(?): при и_т —> оо максимальное значение |и*(?)| стремилось бы к бесконечности, а критерий оптимальности .7 —? 0. Точно так же нельзя не учитывать ограничение на топливо при формулировке задач 3 и 4, так как в противном случае, как это ясно из физических соображений, существует бесчисленное множество управлений, при которых J =.

= -00.

2. Задачи оптимального управления двигателем. Уравнение двигателя постоянного тока можно записать в виде.

где I — момент инерции вращающейся части двигателя, <�р — угол поворота вала двигателя, *" — ток в якорной цепи, кф — конструктивная постоянная, Ф — магнитный поток, М_с — момент сопротивления. Используя обозначения

приведенное выше уравнение двигателя можно записать в нормальной форме:

или в векторной форме:

Здесь для получения простой модели объекта, которая дальше часто используется, за управление принимается ток в якорной цепи.

Задача 5 (поворот двигателя на заданный угол без остановки за минимальное время). Сила тока в якорной цепи ограничена. Поэтому на управление накладывается ограничение |и| ^ и_т. Задача оптимального управления формулируется следующим образом: при заданных уравнении объекта (9.10), (9.11), ограничении на управление |u| ^ u_m, краевых условиях найти управление, при котором функционал J = tf — to принимает минимальное значение. Здесь х{ — заданный угол, на который нужно повернуть вал двигателя. На угловую скорость в конечный момент никаких ограничений не накладывается.

Задача 6 (поворот вала двигателя на заданный угол с остановкой за минимальное время). Задача оптимального управления формулируется точно так же, как и задача 5, но при краевых условиях.

Задача 7 (поворот вала двигателя на заданный угол за время Т при минимальном расходе энергии). Энергия пропорциональна интегралу от квадрата управления (силы тока). Так как постоянный множитель перед функционалом не влияет на решение вариационной задачи, за критерий оптимальности примем интеграл.

где t_Q, tf — фиксированы и tf — to = Т. Ограничения на управление не накладываются. Краевые условия совпадают: а) с условием (9.12), если после поворота вала двигателя на заданный угол его не нужно останавливать; б) с условием (9.13), если после поворота вала двигателя на заданный угол его нужно остановить.