Корни Xi, Х2 действительны и разных знаков

Если корни Xi и Х2 действительны и разных знаков, то преобразование от координат х, у к координатам $, Г) опять действительное. Уравнения для канонических переменных снова имеют вид (5.7), а уравнение фазовых траекторий имеет вид:

Интегрируя, находим

Это уравнение определяет семейство кривых гиперболического типа, где обе оси координат — асимптоты (при г — 1 получается семейство равнобочных гипербол). Оси координат и в этом случае являются интегральными кривыми — это будут единственные интегральные кривые, проходящие через начало координат. Каждая из них состоит из трех фазовых траекторий: из двух движений к состоянию равновесия (или от состояния равновесия) и из состояния равновесия. Все остальные интегральные кривые — суть гиперболы, не проходящие через начало координат (рис. 5.4). Такая особая точка носит название «седло». Линии уровня вблизи горной седловины ведут себя подобно фазовым траекториям в окрестности седла.

Рассмотрим характер движения изображающей точки по фазовым траекториям вблизи состояния равновесия. Пусть, например, X] > О, Х2 < 0. Тогда изображающая точка, помещенная на ось ?, будет удаляться от начала координат, а помещенная на ось Г) — неограниченно приближаться к началу координат, не достигая его за конечное время. Где бы ни находилась изображающая.

точка в начальный момент (за исключением особой точки и точек на асимптоте г) = 0), она в конечном счете будет удаляться от состояния равновесия, даже если вначале она движется по одной из интегральных кривых по направлению к особой точке.

Очевидно, что особая точка типа «седла» всегда неустойчива. Только при специально выбранных начальных условиях на асимптоте г) = 0 система будет приближаться к состоянию равновесия. Однако это не противоречит утверждению о неустойчивости системы. Любая малая флуктуация приведет изображающую точку к уходу с асимптоты, поэтому всякое реальное движение будет удалять систему от состояния равновесия. Переходя обратно к координатам я, у, получим ту же качественную картину характера движения траекторий вокруг начала координат.

Пограничным между рассмотренными случаями узла и седла является случай, когда один из характеристических показателей, например Xj, обращается в нуль, что имеет место, когда определитель системы ad — be = 0. В этом случае коэффициенты правых частей уравнений (5.4) пропорциональны друг другу:

и система имеет своими состояниями равновесия все точки прямой:

Остальные интегральные кривые представляют собой семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом х = c/d, по которым изображающие точки либо приближаются к состоянию равновесия, либо удаляются от него в зависимости от знака второго корня характеристического уравнения Х2 = a+d (рис. 5.5). В этом случае координаты состояния равновесия зависят от начального значения переменных.