Колебания атомов кристаллической решетки. 
Фононы

Задача о колебаниях атомов кристаллической решетки около их положения равновесия, в общем, является довольно сложной, поэтому естественно рассмотреть упрошенную модельную задачу о колебаниях одномерной прямолинейной цепочки атомов. Допустим, что N одинаковых атомов с массой т_у находящихся в положении равновесия на одинаковом расстоянии а друг от друга, образуют прямолинейную цепочку. Силы взаимодействия между ними определяются межатомным расстоянием. Поэтому при смешении любого из атомов цепочки из положения равновесия возникают дополнительные силы, приводящие к смещению соседних атомов и т. д. В результате возмущение побежит в виде волны вдоль цепочки (вдоль оси*). Поскольку силы взаимодействия между атомами являются короткодействующими, то можно считать, что данный атом цепочки взаимодействует с ближайшими соседними атомами (приближение ближайших соседей). Если поместить начало отсчета оси х в положение равновесия некоторого атома с номером /7 = 0, то равновесная координата атома с номером п равна па.

Обозначим смешение п-го атома из положения равновесия буквой считая. Тогда его мгновенное положение определяется координатой х_п — па + _п . Для предыдущего атома: х_п__х =(л-1)д + ?_я_,. Из-за этих смещений изменение расстояния между атомами равно: х_п-х_п__х -а = %_п —|_я-1. Аналогично, изменение расстояния между атомами с номерами яил+1: — ?_я+1. При малых смещениях силы взаимодействия можно рассматривать как квазиупругие с «коэффициентом упругости» х. Тогда сила, действующая на п-й атом при его смещении, равна:

Зная силу, можно записать уравнение движения /7-го атома:

Для решения этого уравнения будем считать число атомов в цепочке бесконечным: N = оо. Это значит, что цепочка атомов простирается до бесконечности в обе стороны, так что /7 = 0, ±1, ±2,… В этом случае она обладает трансляционной симметрией, т. е. переходит сама в себя при сдвиге на любое число периодов а. Физически понятно, что атомы в такой цепочке совершают колебания с одной и той же частотой, но с фазами, сдвинутыми на одну и ту же величину при переходе к соседнему атому. Другими словами, колебания п-го атома можно представить в виде:

где х_п=па.

Если фаза kna = 2nl, где / — любое целое число, то колебания не изменятся. Этому соответствуют значения числа к = Inl/na. Обычно рассматривают значения волнового числа к в интервале длины 2я/а:

Этот интервал называют основной (или первой) зоной Бриллюэна.

При положительных значениях к волна бежит вперед (вправо), при отрицательных — назад (влево). Положительным значениям числа к соответствуют длины волн X = 2я/к :

Отсюда видно, что в рассматриваемой цепочке атомов не могут распространяться волны с длинами Х<2а. Наряду с ограничением.

(5.12) существует еще соотношение, показывающее, что частота распространяющихся волн не может быть произвольной: они могут распространяться лишь при вполне определенной зависимости частоты от волнового числа. Эта зависимость определяется дисперсионным уравнением. Найдем дисперсионное уравнение для волн, распространяющихся вдоль цепочки атомов. Для этого используем формулу (5.10) и аналогичные формулы для |_я_, и |_я+| в уравнении (5.9). В результате получим.

Отсюда следует искомое дисперсионное уравнение:

Как и предполагалось, частота бегущих волн не зависит от номера колеблющегося атома. Формула (5.13) определяет спектр частот колебаний бесконечной цепочки. На рис. 5.4 изображена дисперсионная кривая (5.13). Видно, что в первой зоне Бриллюэна частота изменяется от 0 (при & = 0, Х = оо) до максимального значения.

^a)max⁼²/*A" (ПРИ к = ±п/а).

Приведем некоторые оценки. Для твердых тел в"3*Ю" ^{, 0}м к = п/а % Ю¹⁰ м" ¹, а)_тах «5−10¹³ с»¹.

Фазовая скорость рассматриваемых волн равна:

Рис. 5.4.

В пределе бесконечно длинных волн (/: —? 0) фазовая и групповая скорости совпадают и достигают максимальных значений:

= v_g =ayjx/m. В обратном предельном случае (к—«±л/д).

t/ф = (2a/ji'jyjx/m _у v_g = 0 . Обращение в нуль групповой скорости означает, что энергия волны не переносится. Объясняется это тем, что у границ первой зоны Бриллюэна решение (5.10) описывает не бегущую, а стоячую волну: = |₀ ехр[-/ (со_тах/ - mt) J. Отсюда следует, что колебания соседних атомов находятся в противофазе, так что передачи энергии от атома к атому не происходит.

При решении уравнения (5.9) предполагалось, что цепочка атомов является бесконечной. Это, конечно, грубое описание реального кристалла, имеющего определенные границы. Рассматривая ту же модель цепочки из N одинаковых атомов, теперь необходимо задавать граничные условия для крайних атомов, которые обозначим номерами п = 0 и n-N— 1. В качестве граничных условий часто используют периодические граничные условия Борна — Кармана, согласно которым цепочка N атомов периодически повторяется в обе стороны с периодичностью L-aN(рис. 5.5).

В этом случае смещения /?-го и n±N-го атомов совершенно одинаковы, поскольку они относятся к одному и тому же атому:

Используя (5.10), с помощью условия (5.14) получаем: %_п+н =%_ntxvUkaN) = %_n. Отсюда следует, что ехр (/&7Л0=1, т. е.

kaN = 2л/, где / = 0, ±1, ±2,… Таким образом, волновое число в пределах первой зоны Бриллюэна (5.11) принимает N квантованных (собственных) значений:

Каждому собственному значению волнового числа соответствует собственное решение вида (5.10). Тогда общее решение линейного уравнения (5.9) можно представить в виде суперпозиции собственных решений:

где суммирование ведется по всем к, удовлетворяющим условию (5.15). Движение любой системы частиц, совершающих малые колебания, можно свести к движению независимых осцилляторов. В рассматриваемом случае введем нормальные координаты

которые удовлетворяют уравнению линейного гармонического осциллятора. Энергия квантового осциллятора известна:

Тогда полная энергия колебаний атомов в цепочке определяется формулой

где U₀ — потенциальная энергия цепочки в равновесном состоянии.

Таким образом, энергия тепловых колебаний цепочки атомов складывается из энергии нормальных колебаний.

Помимо периодических граничных условий в цепочке атомов рассматривают условия, при которых крайние атомы считаются жестко закрепленными. В этом случае также существуют собственные, или нормальные, колебания цепочки.

Если в цепочке находятся атомы разного типа, то спектр ее частот существенно изменяется. Рассмотрим простейшую модель — прямолинейную цепочку, в которой поочередно расположены атомы с различными массами т и Л/, а силы между соседней парой атомов одинаковы (атомы связаны между собой «пружинками» одинаковой жесткости) (рис. 5.6).

Обозначая положение атомов массой т четными номерами 2па, а Л/нечетными — (2л + 1) я, можно получить для смешений ?_2л и r|_2/f+| систему уравнений:

Как и в случае одноатомной цепочки, решение этой системы ишут в виде:

В результате получим дисперсионное уравнение:

Отсюда следует, что каждому значению волнового числа к соответствуют два значения частоты. В таком случае говорят, что существуют две моды, или две ветви колебаний. Нижняя ветвь (с меньшей частотой) называется акустической (или дебаевской), а верхняя — оптической (или борновской). На рис. 5.7 изображены эти ветви в пределах первой зоны Бриллюэна. Видно, что между ними существует запрещенная полоса частот: волны с частотами в этой полосе распространяться в цепочке не могут. Волны с частотами со > со_тах также не могут распространяться. Для акустической ветви характерно, что при малых значениях волнового числа (?я":1) частота колебаний со~ к, так же как в случае звуковых волн: со = г/_звЛ, где v_3B — скорость звука. Диапазон частот оптической ветви со/2л ^ 10¹²… 10¹³ Гц находится в инфракрасной области спектра, почему эта ветвь так и называется.

Рис. 5.7.

Используя граничные условия Борна-Кармана ?_2/f^_2yv ⁼ %2п (или t|2/h-i+2/v ⁼ Л2/1+1)> можно найти, что они выполняются, если 2Nka = 2л/, где / — целое число. Это значит, что число к должно принимать значения kf = 2nl/2aN (ср. с формулой (5.15)). Поскольку число к входит только в выражения вида ехр (2inka)> то ничего не изменится, если величина 2ка кратна 2л. Таким образом, можно рассматривать изменения числа к в ограниченном интервале (зона Бриллюэна):

а число допустимых неэквивалентных значений к_{ в этом интервале находится в пределах -N/2¹^ N/2, т. е. равно N. Каждому значению^{соответствуют} две моды колебаний, поэтому полное число нормальных мод в интервале (5.22) равно 2N.

В случае реального трехмерного кристалла задача о колебаниях атомов является очень сложной. Однако с помощью рассмотренных ранее одномерных моделей можно получить качественные представления о колебаниях атомов в трехмерной кристаллической решетке. Допустим сначала, что в элементарной ячейке решетки находится один атом. Каждый атом имеет три степени свободы, так что весь кристалл характеризуется 3Nстепенями свободы. Можно рассматривать смешение /-го атома из его положения равновесия по аналогии с задачей о прямолинейной цепочке. Однако в этом случае необходимо вводить вектор смешения атома из положения равновесия г_/0. В линейном приближении вектор смешения можно задавать в виде бегущей волны, направление распространения которой определяется волновым вектором к:

гдеЛ_л — амплитуда волны; ?_о(к) — единичный вектор, определяющий поляризацию волны.

Решая уравнения для векторов смещения, аналогичные уравнению (5.9), можно получить дисперсионное уравнение, которое для каждого значения вектора к определяет три моды колебании: о) = со₀ (к), где 0 = 1,2, 3. Одна из этих мод описывает продольные колебания (L), а две других — поперечные (7).

Допустим теперь, что в элементарной ячейке находится q атомов. В этом случае система обладает 3qN степенями свободы, и дисперсионное уравнение приводит к существованию 3q ветвей колебаний: (d = (d* (к), где 5= 1, 2,q. Три ветви, частоты которых при малых значениях к пропорциональны к, являются акустическими. Остальные ветви (3<7 — 3) относятся к числу оптических (LO, ТО). При этом как в акустической, так и в оптической ветвях существуют и продольные, и поперечные колебания (рис. 5.8). Таким образом, колебания атомов представляют собой суперпозицию 3qN нормальных колебаний, число которых очень велико (= 10²²…10²³ см^-3).

Рис. 5.8.

Как и в случае одномерной цепочки, волновой вектор не является однозначно определенным. Без каких-либо физических изменений к нему можно добавить вектор 2лЬ, где b — вектор обратной решетки.

Каждое нормальное колебание можно представлять как гармонический осциллятор, колеблющийся с частотой: со₀ (к, 5). Энергия квантового осциллятора определяется формулой, аналогичной (5.18):

Другими словами, задача о колебаниях взаимодействующих атомов в решетке сводится к задаче о совокупности слабо связанных квантовых осцилляторов.

Согласно квантовым представлениям с волной связывают частицу, энергия которой определяется частотой волны, а импульс — волновым вектором. В соответствии с этими представлениями волне смещений атомов (или ионов и молекул) из положений равновесия сопоставляется квазичастица, которую называют фононом (И. Е. Тамм, 1929). Энергия фонона определяется формулой де Бройля в полной аналогии с квантами света — фотонами: ?(к) = Ли)₀ (к, 5), а квазиимпульс р = Лк. Величина л (к, s) в формуле (5.23) имеет смысл числа фононов с данными импульсом и энергией. Среднее число фононов данного типа определяется формулой Планка:

Это означает, что фононы, как и фотоны, относятся к бозонам. Число фононов в кристалле не сохраняется, оно зависит оттемпературы: чем выше температура, тем больше фононов, а при абсолютном нуле фононов нет. С этим и связано то, что фононы являются не «частицами», а лишь квазичастицами (как бы частицами). Кроме того, «волновой вектор» к (и вектор р) определяется неоднозначно согласно условиям, аналогичным (5.22), поэтому вектор р называют квазиимпульсом.

В кристалле возможны акустические и оптические фононы, при этом энергия оптических фононов всегда выше энергии акустических. Поэтому при очень низких температурах возбуждаются только акустические фононы. Для экспериментального наблюдения фононов и нахождения их закона дисперсии в настоящее время используют процессы неупругого рассеяния тепловых нейтронов на фононах.

Фононы являются не единственными квазичастицами, связанными с элементарными возбуждениями в твердых телах. Например, если изолированная молекула находится в электронном возбужденном состоянии, то она освобождается от избытка энергии с помощью высвечивания фотона. Когда же возбужденная молекула находится в кристалле, то ситуация изменяется: ее возбуждение может перейти на соседнюю молекулу и по кристаллу побежит волна возбуждений, не связанная с переносом электрического заряда и массы. Такой волне сопоставляют квазичастицу, которую Я. И. Френкель в 1931 г. назвал экситоном (excito — возбуждаю). Существует также множество других возбуждений в кристалле и связанных с ними квазичастиц. Например, в основном состоянии в ферромагнетиках или антиферромагнетиках магнитные моменты выстраиваются в определенном порядке. Когда происходит отклонение магнитного момента из положения равновесия, то возникшее магнитное возбуждение бежит в виде волны (спиновой волны) по кристаллу. Такой волне соответствует квазичастица, которую называютмагноном.

ЗАДАЧИ.

1. Используя формулу (5.13), показать, что в случае длинных волн (ка 0 фазовая скорость сводится к скорости звука в непрерывном стержне.

Решение. Из (5.13) и>_к = ка^к/ т: фазовая скорость.

= (о/k = ayfx/m. Скорость звука: v_3b = р, где Е — модуль Юнга; р — плотность вещества. Относительное растяжение цепочки: -!"_,)/F_n = ?(?" • С другой стороны, = х (|".

Из сравнения: Е = ха. Для цепочки р = т/а. Поэтому, v_ф = г_зв.

2. Найти частоту колебаний ионов (о в кристалле NaCl, помещенном во внешнее электростатическое поле F.

Решение. В поле F ионы с зарядом |е| смешаются на величину х. Поляризуемость /^> = л|е|х = -?₍₎/^г, где п — концентрация ионов. Сила притяжения между ионами / = |e|F = -{ne²/z^)x. Уравнение движения цх = /, где р — приведенная масса ионов. Отсюда со = Jne²/z₀i.