Возврат из прерывания 2.4

О следующем после Фалеса известном философе-милетце — Анаксимандре — говорят, что именно он ввел в Греции гномон для измерения времени по Солнцу. Б. Л. ван дер Варден выражается более обстоятельно:

«У Анаксимандра Милетского, ученика Фалеса, была мастерская, где, между прочим, изготовлялись из дерева небесные глобусы. Анаксимандру было также поручено установить на рыночной площади в Спарте гномон, т. е. вертикальные солнечные часы…» [19, с. 145−146].

И. Д. Рожанский в статье [6, с. 206—207] (а также в текстуально близкой к этой статье книге [44, с. 39—41]) отмечает, что Анаксимандру принадлежало «первое в истории европейской мысли научное сочинение» (до нас не дошедшее), им же начерчена первая географическая карта известного грекам мира. Однако при всем этом «он [Анаксимандр], по-видимому, еще не проводил разграничения между понятиями силы, качества и вещества».

Современному читателю смешение этих понятий может показаться невероятным, особенно в сопоставлении с детально продуманной категориальной системой Аристотеля, жившего всего на двести с небольшим лет позже.

Однако при слабости теории древние греки уже в это время совершали несомненные «измерительные подвиги». В том же VI веке до нашей эры, около 530 года, был пройден под руководством Евпалина из Мегары туннель для водовода на острове Самос (через море — недалеко от Милета) длиной около 1 км.

Проходка велась с двух сторон горы, и землекопы встретились с ошибкой в горизонтальном направлении всего около 10 м, а в вертикальном 3 м [19]. Для соединения северной части туннеля с южной пришлось только несколько изогнуть одну из этих частей.

На рис. 2.12 приведены фрагмент карты острова и поперечный разрез горы, через которую проходил водовод. В книге [45], из которой заимствован этот рисунок, дан еще чертеж предполагаемого обхода горы прямолинейными ходами, сопрягаемыми под прямыми углами, — считается, что только такой обход мог позволить с помощью угломерных инструментов указать землекопам правильные направления проходки с двух сторон горы. Но мы его.

Рис. 2.12. Туннель на острове Самос (рисунок заимствован из книги [45]): а — карта части острова с горой Кастро; б — поперечный разрез (вертикальный масштаб увеличен в два раза) не приводим — Б. И. Козлов, автор книги [45], ссылается в этом месте на Б. Л. ван дер Вардена, а в книге самого ван дер Вардена [ 19] приведен похожий, но совсем другой чертеж, причем сделано замечание, позволяющее предположить, что этот чертеж не происходит из античных источников.

Читатель, интересующийся последовательностью измерений, выполненных в обход горы, может обратиться также к монографии Г. Дильса [26].

И. Д. Рожанский оценивает работу Евпалина так: «Это была совсем не простая задача, требовавшая не только определенных знаний в области геометрии, но и большой точности в проведении геодезических измерений» [44, с. 32]. Ведь мало было достичь стыковки двух частей туннеля — нужно было обеспечить постоянный уклон для течения воды, и это было тоже сделано!

Европейские ученые были склонны считать выдумкой описание туннеля, сделанное Геродотом. Но в 1882 году немецкие археологи при раскопках на Самосе нашли туннель, соответствующий во всех деталях тексту Геродота: «1 километр длины, 2 метра ширины и высоты, с глубокой выемкой, где находилась труба, с вертикальными шахтами для вентиляции и очистки от мусора, а также с нишами, в которых рабочие ставили свои светильники» [19, с. 142].

Таким образом, Евпалина, сына мегарца Навстрофа (согласно Геродоту), можно считать одним из первых маркшейдеров в истории человечества.

Однако представляется, что вряд ли такое серьезное дело, как проходка километрового туннеля, могло быть предпринято в отсутствие предварительного опыта выполнения более простых работ, тоже требующих геодезических измерений.

С этой точки зрения дата «около 530 года до нашей эры» может считаться в какой-то степени итоговой для маркшейдерского мастерства греков.

Из других событий второй половины VI века до нашей эры для нас должна представлять интерес деятельность пифагорейской школы.

Считается, что именно Пифагор первым назвал свое учение любомудрием (философией). Существует мнение о том, что Пифагор, «по словам музыковеда Аристоксена, первым ввел в Грецию меры и веса» [28, с. 144]. В это трудно поверить — неужели до Пифагора не было стандартизованных мер? И как Пифагор мог «ввести» их, не обладая властью? Но и без этого работы пифагорейцев, по-видимому (мнения историков о действительных заслугах пифагорейцев сильно расходятся), привели к ряду важных находок.

С позиций истории информационной сферы наиболее важными представляются четыре факта: открытия пифагорейцев в области музыкальной акустики, их основная философская идея «все есть число», создание ими начал теории чисел, а также приписываемое им обнаружение несоизмеримости.

Сейчас всем известно, что тем или иным музыкальным интервалам соответствуют определенные отношения частот звуков, составляющих эти интервалы. Например, октаве, чистой квинте и чистой кварте соответствуют отношения частот 2:1, 3:2 и 4:3.

Пифагорейцы не умели измерять звуковые частоты, но они обнаружили, что целочисленные соотношения (а также аналогичные соотношения для других интервалов) имеют место для длин струн при постоянном их натяжении. Вероятно, для этого потребовались специальные эксперименты на так называемом монохорде (в переводе — «одноструннике»).

Имеются также сведения о том, что пифагорейцы экспериментировали с сосудами, один из которых был пустым, а другой наполнялся водой наполовину, на четверть и на треть, что позволяло получать те же музыкальные интервалы октавы, кварты и квинты [28, с. 154].

Исходя из найденных соотношений, пифагорейцы с помощью вычислений сконструировали довольно сложный музыкальный строй. Он совершенствовался в течение долгого времени с участием таких математиков, как Архит и Евдокс. Истории развития пифагорейской теории музыки посвящено специальное приложение к книге Б. Л. ван дер Вардена [ 19, с. 393—434].

Можно предположить (и с этим согласен ряд историков науки), что именно обнаружение целочисленных соотношений в области музыки послужило для пифагорейцев толчком к поискам аналогичных соотношений в других областях. Дальнейшее развитие этих идей привело их к представлению о том, что основой мира являются числа.

После философских поисков ионийских мудрецов, видевших единую материальную основу мира в воде (Фалес), воздухе (Анаксимен), огне (Гераклит) или неопределенном «апейроне».

(Анаксимандр), и в дополнение к учению Эмпедокла о четырех элементах (огонь, вода, земля и воздух) пифагорейцы впервые выдвинули мысль об идеальной — числовой — основе мира. Впоследствии эту мысль по-своему разовьет Платон.

Вот одно из высказываний античного комментатора о пифагорейском учении: «…они стали считать числа причинами вещей, утверждая, что все сущее состоит из чисел» [28, с. 468].

Вот фрагмент другого, более подробного комментария:

«Начало (архэ) всех вещей — единица (монада), а из единицы гипостазировалась неопределенная двоица (диада), которая относится к единице как материя к причине. Из единицы и неопределенной двоицы — чиста, из чисел — точки, из точек — линии, из линий — плоские фигуры, из плоских — телесные фигуры, а из них — чувственные тела, элементов которых четыре: огонь, земля, вода, воздух, которые изменяются и превращаются насквозь и из них рождается космос… шарообразный, содержащий в середине Землю, тоже шарообразную и населенную со всех сторон» [Там же, с. 486].

Иначе и с исключительной четкостью трактовала идеи Пифагора его любимая жена Теано — вероятно, первая в мире женщина-философ, автор научных трудов (и мать четырех детей):

«Многие эллины… думают, будто Пифагор говорил, что все рождается из числа. Но это учение вызывает недоумение: каким образом то, что даже не существует, мыслится порождающим? Между тем он говорил, что всё возникает не из числа, а согласно числу…» [Там же, с. 149].

Теано была не единственной пифагорейкой — известны имена и других, менее выдающихся женщин, входивших в пифагорейскую общину.

Наконец, имеются и такие комментарии, которые напоминают призывы ученых Нового времени — начиная с Галилея — измерять то, что еще не измерено:

«…По их [пифагорейцев] мнению, кто желает изучать сущее и его свойства, тот должен обратить свой взор на это: на числа, на измеримые виды сущего и пропорции, так как через них можно объяснить все» [Там же, с. 470].

Получается, что положение «все возникает согласно числу» можно понимать еще и как утверждение о том, что всё в природе исчислимо и измеримо.

Но пифагорейцы не только философствовали о числах. Они, можно сказать, заложили первые камни в здание теории чисел — своеобразной области математики, которая в настоящее время играет важную роль в криптографической защите информации.

Конечно, в их рассуждениях было много наивного. Так, они полагали, что брак между мужчиной и женщиной соответствует числу 5: ведь 5 = 3 + 2, но 3 считалось первым нечетным, «мужским» числом (единица была у пифагорейцев на особом положении), в то время как 2 есть первое четное, «женское» число [28, с. 468]. Был у них и ряд других подобных сопоставлений. Вообще противоположность четного и нечетного играла в их учении очень большую роль. Они вводили и более сложные понятия, такие как четно-нечетное число, т. е. такое, половина которого нечетна. Они находити ряд ценных свойств у числа 10, но не потому, что у нас 10 пальцев, а, например, потому, что 10 = 1 + 2 + 3 + 4. Они строили (рис. 2.13) ряды «треугольных», «квадратных», «прямоугольных» и «пятиугольных» чисел, выражающихся соответственно как.

• 1 + 2 + 3 +… + п = п (п + 1)/2 — треугольные числа 1, 3, 6, 10,…;
• 1 + 3 + 5 + … + (2/7 — 1) = п² — квадратные числа 1, 4, 9, 16,…;
• 2 + 4 + 6 + … + 2/7 = п (п + 1) — прямоугольные числа 2, 6, 12,
• 20,…;
• 1 + 4 + 7 + … + (3/7 — 2) = /7(3/? — 1)/2 — пятиугольные числа 1,5, 12, 22,…

С позиций современной теории чисел важно, что пифагорейцы обратили внимание на отношение делимости и на состав.

Рис. 2.13. Треугольные, квадратные и пятиугольные числа [ 14] делителей целых чисел. Простые числа они называли линейными, числа, являющиеся произведениями двух сомножителей, — плоскими, поскольку на отрезках, длины которых равны этим сомножителям, можно построить квадрат или другой прямоугольник.

Например, плоскими считались числа 16 и 18 (два этих числа обладают уникальным свойством: у каждого из прямоугольников 4×4 и 3×6 площадь численно равна периметру), а к лежащему между ними числу 17 пифагорейцы испытывали «отвращение» [19, с. 134].

Последнее звучит забавно в свете того факта, что одним из первых крупных математических открытий великого К. Ф. Гаусса было построение правильного 17-угольника.

Пифагорейцы называли совершенным число, равное сумме своих делителей, например 6 = 1 + 2 + 3. Они знали и другие совершенные числа.

Б. Л. ван дер Варден [19, с. 136] пишет, что Пифагор, отвечая на вопрос, что такое друг, упомянул о дружественных числах 284 и 220. Каждое из них равно сумме делителей другого:

• 284 = 1+2+ 4 +5+ 10 + 20 + 11 +22 + 44 + 55+ ПО;
• 220 = 1 + 2 + 4 + 71 + 142.

Все эти наблюдения, очевидно, давали материал для работы последующих поколений математиков.

Но наиболее драматическим событием в истории математики, связанным с поисками пифагорейцев, было открытие несоизмеримости. По-видимому, среди историков науки нет согласия относительно того, в какой области математики была впервые обнаружена несоизмеримость: рассматривали пифагорейцы процесс измерения диагонали квадрата единицей, равной длине стороны, или пытались найти среднее пропорциональное между единицей и двойкой (а может быть, хотели выполнить аналогичную операцию в области музыки — разделить октаву пополам).

О несоизмеримости диагонали и стороны квадрата сейчас учат уже в средней школе; правда, вряд ли говорят о том, что бесконечно продолжающийся поиск общей меры диагонали и стороны представляет собой информационный процесс.

Менее известен второй подход. Д. Я. Стройк [2, с. 59] объясняет его так. Пусть требуется найти несократимую дробь b = p/q, такую, чтобы выполнялась пропорция 2: b = b : 1. Отсюда получается р² = 2q², и следовательно, р², а также и самор должны быть четными числами. Представим последнее как/? = 2 г.

Далее, </должно быть нечетным (искомая дробь несократима), но, так как q² = 2г², оно должно быть также и четным.

Получилось противоречие, связанное с одной из основных для пифагорейцев противоположностей — четного и нечетного. Выходило, что искомое среднее пропорциональное не выражается никаким числом. Нам такой вывод может показаться странным (если забыть о том, с каким трудом строилась современная теория действительных чисел).

Это был первый в истории кризис математики. Даже наш современник А. Д. Александров пишет об этом так, как если бы произошла катастрофа:

«…Исходя из твердо установленного опытного факта, в геометрии был сделан вывод, не имеющий реального смысла; в физике ему не придали бы значения, но в математике он сохранился и имел величайшие последствия — во всех применениях и перипетиях учения о математическом континууме» [46, с. 277].

Действительно, здесь мы в первый раз (если не считать упоминания о том, что непрерывное движение точки производит линию) сталкиваемся с континуумом, точнее, пока только с одним представителем несчетного множества чисел, не являющихся рациональными, — в десятичном или двоичном изображении это число должно было бы содержать бесконечную непериодическую последовательность цифр «после запятой».

В ином виде проблематика континуума выступила у Зенона Элейского (правда, рассуждения Зенона фактически требовали не континуума, а «всего лишь» плотного множества точек с рациональными координатами). Но прежде чем переходить к Зенону, нужно вкратце рассмотреть, по возможности придерживаясь «информационной точки зрения», идеи, выдвинутые предшествовавшими ему элеатами: Ксенофаном и Парменидом.

У Ксенофана наиболее интересным представляется то, что он счел необходимым доказывать положения, характеризующие бога и его свойства. Так, он обосновывает утверждение, что бог один и что не может быть многих богов. Этот единый бог повсюду подобен и, следовательно, шарообразен [28, с. 160]; он не бесконечен и не конечен, он не движется и не неподвижен (не первое ли это утверждение о единстве противоположностей? Ведь Гераклит был моложе Ксенофана!). Но еще интересней то, что бог Ксенофана «весь целиком видит и весь целиком слышит, но не дышит, и всецело — сознание, разум, и вечен» [Там же, с. 157].

К этому нужно добавить способ действий бога, выраженный в стихотворной форме следующим образом:

«Но без труда, помышленьем ума он всё потрясает» [Там же, с. 173].

Все эти мысли почти дословно совпадают с высказываниями Исаака Ньютона (в конце его «Математических начал натуральной философии» [33]) о том, что Бог «весь себе подобен, весь — глаз, весь — ухо, весь — мозг, весь — рука, весь — сила чувствования, разумения и действования, но по способу… для нас совершенно неведомому».

Парменид отнес важнейшие свойства ксенофановского бога к более реальному понятию бытия. По-видимому, он впервые резко разграничил сущность мира, бытие как таковое («постигаемое умом»), с одной стороны, и многообразие наблюдаемых нами вещей («постигаемое мнением»), с другой стороны. Это противопоставление он смело довел до логического конца и пришел к выводу, что бытие как таковое представляет собой единый неподвижный и однородный шар. Получалось, что множество вещей и их движение существуют только в человеческом мнении, а оно «ненадежно и шатко».

Другие положения философии Парменида здесь нет ни возможности, ни необходимости разбирать. Упомянем только приписываемое ему несколько неожиданное высказывание: «Мыслить и быть — одно и то же» [28, с. 287], удивительно похожее на декартовское: «Мыслю, следовательно, существую».

И. Д. Рожанский предполагает, что учение Парменида о бытии произвело на его современников огромное впечатление и «было встречено резкой, доходящей до насмешек критикой» [47, с. 19]. Далее он пишет:

«Как свидетельствует Платон, именно эта критика побудила Зенона написать полемическое сочинение, в котором любимый ученик Парменида доказывал с помощью хитроумных логических аргументов, что допущение множественности вещей и возможности движения приводит к еще большим нелепостям и противоречиям».

Из дошедших до нас сведений об аргументах Зенона большая часть относится именно к поддержке положения Парменида о невозможности движения. Об этом писал даже Пушкин:

Движенья нет, — сказал мудрец брадатый…

Однако логические конструкции Зенона — их называют апориями, так как каждая из них содержит то или иное противоречие, — имеют намного более широкое значение. На протяжении уже двух с половиной тысячелетий они будят мысль ученых. Посвященная им литература необозрима. Диапазон мнений об апориях Зенона простирается от высказывания: «Этот грек был идиотом» до осторожного признания того, что нам сейчас приходится «на неизмеримо более высоком уровне развития науки возвращаться снова к проблематике, связанной с апориями Зенона». Эта последняя мысль заключает статью 148], которую написала в начале 1960;х годов упоминавшаяся нами Софья Александровна Яновская. Можно только повторить то, что было сказано выше о ее работах: читатель получит и удовольствие, и пользу, если внимательно проработает каждую из них.

Наиболее известную из апорий Зенона кратко называют «Ахиллес и черепаха». Формулируется она примерно так: быстроногий Ахиллес не догонит черепаху, поскольку, добежав до того места, где она находилась, всякий раз обнаружит, что черепаха продвинулась вперед.