Значение тригонометрических функций в школьном курсе математики и различные подходы к их изложению

Тригонометрические функции играют важную роль в математике и се приложениях. Они описывают связи между сторонами и углами треугольников. Тригонометрические функции и их использование в курсе геометрии позволяет рассматривать понятие функции как важнейшее понятие математики, связывая тем самым курсы алгебры и геометрии. Велико значение тригонометрических функций в формировании научного мировоззрения: с их помощью геометрические факты находят применение в практической деятельности, в частности при проведении различных измерительных работ на местности, они являются моделью многих периодических процессов (биение сердца, зависимость напряжения в металле от нагрузки на него и т. д.).

В учебной литературе существуют различные системы изложения тригонометрических функций.

• 1. Ограничиваются рассмотрением тригонометрических функций острого угла прямоугольного треугольника. Такой подход был реализован в учебнике А. Г1. Киселева.
• 2. Вначале вводят тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника, доказывают несколько теорем с их использованием, затем распространяют понятие тригонометрических функций на множество углов от 0° до 180°, и рассматривают их различные приложения. Такая система излагается в учебнике А. В. Погорелова.

В учебнике А. Д. Александрова и др. рассматриваются параллельно тригонометрические функции острого и тупого углов.

• 3. Тригонометрические функции сразу рассматривают на множестве углов, изменяющихся от 0° до 180°, затем частный случай от 0° до 90° тригонометрические функции острого угла. Такой подход реализуется в учебнике Л. С. Атанасяна и др.
• 4. Тригонометрические функции рассматриваются на множестве углов а, -оо<�аг<+оо. Такая система изложения содержалась в учебнике А. Н. Колмогорова и др.

Реализация последнего подхода, как показал опыт, встречает большие трудности в силу высокого уровня абстрактности изложения. В курсе геометрии тригонометрические функции на такой обширной области определения не находят применения для решения косоугольных треугольников достаточно знания тригонометрических функций углов, меньших 180°. Поэтому, можно сказать, что наиболее целесообразным является рассмотрение функций на множестве углов а, где 0° < а < 180°.

Возрастным возможностям учащихся 8−9 классов более соответствует такая система изложения тригонометрических функций, при которой вначале рассматриваются тригонометрические функции острого угла, а затем уже осуществляется расширение области их определения. Такая система изложения тригонометрических функций наглядна, она позволяет сразу же формировать практические навыки школьников в использовании функций к решению прямоугольных треугольников, затем появляется необходимость расширения области определения тригонометрических функций, обусловленная решением любых треугольников. Такой подход позволяет сразу же активно использовать тригонометрические функции острого угла при доказательстве многих геометрических фактов, а это способствует формированию представления учащихся о тригонометрических функциях, как о важном инструменте изучения геометрии.