Примеры решения задач

1. Величина .v равномерно распределена между значениями а и /л Найти дисперсию х.

Решение. По определению дисперсия (флуктуация) равна.

Для нахождения средних по формуле (7) (л* - непрерывная величина) необходимо знать плотность вероятности р (л). Равномерное распределение д; между значениями а и b означает, что плотность вероятности является величиной постоянной: р (лг) = С = const. Значение этой постоянной определяется условием нормировки:

Отсюда.

Тогда дисперсия х оказывается равной.

2. Найти среднее значение случайной величины и, подчиняющейся распределению Пуассона.

Р е ш е н и е. В этом случае речь идет о распределении дискретной величины, следовательно, для нахождения среднего значения, необходимо пользоваться выражением (6):

Таким образом, параметр в распределении Пуассона равен среднему значению величины п.

3. Состояние системы определяется непрерывным параметром х, пробегающим значения от 0 до оо и дискретным параметром п, принимающим два значения 0 и 1. Вероятность того, что система находится в состоянии с данными значениями х и п равна

где аирнекоторые постоянные (а>0). Найти средние значения .v и п.

Решение.В данном случае состояние системы определяется двумя параметрами, один из которых изменяется непрерывно, а другой дискретно. Поэтому, при вычислении среднего значения необходимо просуммировать по дискретному параметру и проинтегрировать по непрерывному:

4. Материальная точка свободно падает с высоты Н без начальной скорости. Найти вероятность ее обнаружения на высоте от b до h+db от поверхности Земли.

Решение. Для нахождения искомой вероятности воспользуемся определением (3)

Время наблюдения над системой в данном случае равно времени падения материальной точки: Т = y]2H/g. Время dt — это время, за которое точка проходит путь от h до b + db. Поскольку dh — бесконечно малая величина, то движение точки на этом участке можно считать равномерным и.

где v_h — скорость материальной точки на высоте b. Она равна gt_h, где t_h — время, за которое материальная точка проходит путь, равный НЬ. Тогда

Следовательно,

5. Из курса общей физики известно распределение молекул идеального газа по проекциям скоростей (распределение Максвелла):

Используя данное выражение, получить соотношения, описывающие распределение молекул идеального газа а) по модулям скоростей; б) по энергиям.

Решение, а) Для того, чтобы получить распределение по модулям скоростей необходимо от переменных v_x9v_y, v_z перейти к переменной V. Данный переход эквивалентен переходу от декартовой системы координат х₉y, z к сферической системе г, 0, ф (рис. 2).

Элемент объема dv_xdv dv_z преобразуется в v²smQdvdQdty. Поскольку нас интересует лишь модуль скорости, но не ее направление, то по углам 6, ф можно проинтегрировать, тогда dv_xdv_ydv_x переходит в величину.

4nv²dv. Так как v² + v² + v = v¹, то распределение Максвелла по модулям скоростей принимает вид:

б) Так как взаимодействие между молекулами идеального газа отсутствует, то энергия молекулы г = ти²/2. Тогда имеем формулы перехода:

Следовательно, распределение молекул идеального газа по энергиям имеет вид:

Рис. 2.

6. Состояние системы определяется непрерывным параметром х> пробегающим значения от 0 до оо и дискретным параметром п_ч принимающим два значения 0 и 1. Вероятность гою, что система находится в состоянии с данными значениями х и и равна.

где аирнекоторые постоянные (а>0). Найти а) вероятность того, что величина х лежит в интервале от х до x+dx при произвольном значении п б) вероятность того, что величина п имеет определенное значение при произвольном значении х.

Решение, а) Искомая вероя тность находится по теореме о сложении вероятностей:

Учитывая ранее найденное значение нормировочного множителя С (см. задачу 3), получим окончательно:

б) И в этом случае необходимо воспользоваться теоремой о сложении вероятностей. Поскольку параметр х изменяется непрерывным образом, то сумма переходит в интеграл: