Некоторые сведения теории вероятностей

Математическое ожидание, дисперсия

Дискретной называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определёнными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех её возможных значений на их вероятность.

.

где Х — случайная величина, — значения, вероятности которых соответственно равны .

Математическое ожидание приближённо равно (тем точнее, чем больше число испытаний) среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.

Дисперсией (рассеянием) случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания: .

Средним квадратичным отклонением случайной величины Х называют квадратный корень из дисперсии: .

Точность оценки, доверительная вероятность. Доверительный интервал

Точечной называют оценку, которая определяется одним числом.

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами — концами интервала. Интервальные оценки позволяют установить точность и надёжность оценок.

Пусть, найденная по данным выборки, статистическая характеристика служит оценкой неизвестного параметра. Ясно, что тем точнее определяет параметр, чем меньше абсолютная величина разности. Другими словами, если >0 и, то, чем меньше, тем оценка точнее. Положительное число характеризует точность оценки.

Надёжностью (доверительной вероятностью) оценки по называют вероятность, с которой осуществляется неравенство .

Доверительным называют интервал, который покрывает неизвестный параметр с заданной надёжностью .

Нормальное распределение

Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается дифференциальной функцией.

.

а — математическое ожидание, — среднее квадратичное отклонение нормального распределения.