Случайные величины и математические ожидания

Случайная величина х (мы временно опустим индекс t) есть функция, определенная на пространстве выборок Q. Пространство выборок Q — это множество событий Q = {w}, причем скалярная функция x (w) называется реализацией случайной величины х. Используя более точную терминологию, можно сказать, что Q = {w} есть вероятностное пространство, или пространство событий, т. е. гипотетических первичных актов (случайных, характеризуемых вероятностью P (w)), порождающих, в свою очередь, случайные величины x (w) или случайные процессы x (t, w). Последние есть детерминированные функции от w, а для случайных процессов также от t; они называются реализациями или выборочными функциями, а их совокупность образует пространство выборочных функций, или, короче, пространство выборок. Установив взаимно однозначное соответствие между событиями и выборочными функциями, можно, в известном смысле, отождествлять пространство событий с пространством выборок.

Пространство выборок характеризуется также законом вероятности, который ставит в соответствие различным подмножествам из Q некоторые вероятности.

Ожидаемое среднее значение М (х) случайной величины х можно интерпретировать как линейный функционал от функции х, определяемый в виде

где Р: Q —" R есть вероятностная функция, определенная на Q.

Средний квадрат величины х есть квадратичный функционал от х, который можно трактовать как квадрат нормы х:

Некоторое неудобство полученных соотношений связано с тем, что индекс суммирования может пробегать несчетное множество значений и, кроме того, обычно нет физически ясного механизма, который связывает случайные значения процессов x (t, w) и их отображения в пространстве выборок Q. Имеется и другое описание, которое полностью характеризует случайные величины через плотность вероятности. Это описание несколько затемняет роль гильбертова пространства как пространства случайных величин. Тем не менее математические ожидания определяются как скалярные произведения (линейные или квадратичные функционалы), легко выражаемые через плотность вероятности.

Вещественную случайную величину х можно полностью охарактеризовать вероятностью события, состоящего в том, что x (w) < а для любого вещественного значения а. Плотность вероятности р_х(^) определяется тогда условием.

Если х принимает некоторые значения а_г а_ъ … с конечными вероятностями р_г, р₂, …, то это приводит к появлению 5-функций в формуле плотности вероятности, которые можно выделить в записи, оставляя р_х© регулярной:

Ожидаемое значение случайной величины, т. е. ее среднее значение, определяется соотношением.

Это выражение часто используется как удобная символика для определения математического ожидания. Средний квадрат величины х дается формулой.

Другой важный статистический параметр — средний квадрат центрированной случайной величины (х — х) — называется дисперсией: