Свойства модуля и аргумента комплексного числа

С помощью тригонометрической формы удобно находить произведение и частное комплексных чисел.

Пусть Z₁= r₁(cos₁ + isin₁), Z₂ = r₂(cos₂ + isin₂). Тогда:

Z₁Z₂= r₁r₂[cos₁cos₂ — sin₁sin₂ + i (sin₁cos₂ + cos₁sin₂)]=.

= r₁r₂[cos (₁ + ₂) + isin (₁ + ₂)].

Таким образом, произведение комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме, можно находить по формуле:

Z₁Z₂= r₁r₂[cos (₁ + ₂) + isin (₁ + ₂)] (5).

Из формулы (5) следует, что при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Если Z₁=Z₂ то получим:

Z²=[r (cos + isin)]²= r²(cos2 + isin2).

Z³=Z²Z= r²(cos2 + isin2) r (cos + isin)= r³(cos3 + isin3).

Вообще для любого комплексного числа Z= r (cos + isin)0 и любого натурального числа n справедлива формула:

Zⁿ =[ r (cos + isin)]ⁿ= rⁿ(cosn+ isinn), (6).

которую называют формулой Муавра.

Частное двух комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме, можно находить по формуле:

[ cos (₁ — ₂) + isin (₁ — ₂)]. (7).

= = cos (-₂) + isin (-₂).

Используя формулу 5.

(cos₁ + isin₁)(cos (-₂) + isin (-₂)) =.

cos (₁ — ₂) + isin (₁ — ₂).

Пример 3: число геометрический арифметический вычитание.

Z³ = -8.

Число -8 запишем в тригонометрической форме.

8 = 8(cos (+ 2) + i· sin (+ 2)),.

Пусть Z = r (cos + isin), тогда данное уравнение запишется в виде:

r³(cos3 + isin3) = 8(cos (+ 2) + i· sin (+ 2)),.

Тогда 3 = + 2,.

= ,.

r³ = 8.

r = 2.

Следовательно:

Z = 2(cos () + i· sin ()),.

= 0,1,2…

= 0.

Z₁ = 2(cos + i· sin) = 2(i) = 1+i.

= 1.

Z₂ = 2(cos (+) + i· sin (+)) = 2(cos + i· sin) = -2.

= 2.

Z₃ = 2(cos (+) + i· sin (+)) = 2(cos + i· sin) = 1-i.

Ответ: Z₁₃ =; Z₂ = -2.

Пример 4:

Z⁴ = 1.

Число 1 запишем в тригонометрической форме.

1 = 1(cos (2) + i· sin (2)),.

Пусть Z = r (cos + isin), тогда данное уравнение запишется в виде:

r⁴(cos4 + isin4) = cos (2) + i· sin (2)),.

4 = 2,.

= ,.

r⁴ = 1.

r = 1.

Z = cos + isin.

= 0,1,2,3…

= 0.

Z₁ = cos0+ isin0 = 1 + 0 = 1.

= 1.

Z₂ = cos + isin = 0 + i = i.

= 2.

Z₃ = cos + i· sin = -1 + 0 = -1.

= 3.

Z₄ = cos + isin.

Ответ: Z₁₃ = 1, Z₂₄ = i.