Статистическое описание микросостояний макросистемы

Для задания микроскопического состояния а многочастичной системы необходимо точно указать значения всех параметров, характеризующих состояние каждой из частиц системы в отдельности. Это можно сделать только теоретически. Например, нет возможности указать координаты и скорости всех молекул газа. Микроскопические состояния многочастичной системы можно исследовать статистическими методами, используя математический аппарат теории вероятности. Нельзя сказать, в каком именно микросостоянии, а находится рассматриваемая макросистема, но можно вычислить вероятность с которой система в момент времени t может оказаться в состоянии а.

Рассмотрим некоторую дискретную систему. В физических задачах для идентификации состояния дискретной системы не всегда удобно использовать порядковый номер i состояния, так как эта величина не имеет, вообще говоря, физического смысла. Для этой цели обычно используют величины, имеющие определенный физический смысл. Величины Х_и Хч, …, X_s, характеризующие состояние дискретной системы, называются математически независимыми, если ни одна из них не является функцией остальных. Пусть совокупность Х> X2, …, X_s независимых физических величин однозначно определяет микросостояние а рассматриваемой системы. В таком случае их число s называется числом степеней свободы системы. При этом многомерная величина

может быть использована вместо номера микросостояния системы о, а функцию распределения W = Wi (t) можно записать так:

Это есть вероятность того, что система в момент времени t находится в состоянии X. Функция W = W (t, X) описывает распределение систем статистического ансамбля по микросостояниям и называется функцией распределения. Согласно определению вероятности число систем ансамбля, которые в момент времени t находятся в состоянии X, равно N W (t_} Х)_} где N — число систем в ансамбле.

Условие нормировки (2.3) для функции распределения (2.21) будет иметь вид где суммирование производится по всем значениям X, взаимно однозначно соответствующим различным состояниям системы.

Рассмотрим макросистему, микросостояния которой характеризуются непрерывными величинами x_t *2, …, x_s. Пусть эти величины математически независимы, а их совокупность однозначно определяет микросостояние а рассматриваемой системы. Для статистического описания такой макросистемы необходимо использовать плотность вероятности.

где.

— совокупность величин, характеризующих микросостояние системы. Условие нормировки для этой функции можно записать так:

При помощи функции распределения W = W (i, X) можно дать более строгое и обоснованное с теоретической точки зрения определение макроскопического состояния а многочастичной системы. Теперь можно утверждать, что макросостояние <�т какой-либо системы есть совокупность ее микросостояний а, в каждом из которых она может находиться с той или иной вероятностью. Другими словами, можно сказать, что статистическое описание макросостояния а системы осуществляется посредством функции распределения W — W (t, X).

Макроскопические параметры состояния такие, как внутренняя энергия и энтропия, являются функциями макросостояния сг системы:

и = U (а определяется функцией распределения, функции состояния должны каким-то образом зависеть от этой функции. Одной из основных задач статистической физики является установление зависимостей макроскопических параметров состояния системы от функции распределения:

Такие зависимости в математике называют функционалами.