Прямая и обратная задачи динамики точки

Дифференциальные уравнения, например в виде (5) допускают постановку двух типов задач динамики точки:

Прямая задача динамики точки

Определение равнодействующей сил, приложенных к точке по заданному закону ее движения. Пуст закон задан в декартовых координатах.

x (t).

y (t) R (t) -?

z (t).

динамика точка движение сила Решение этой задачи связано с дифференцированием закона движения. Проекции и модуль равнодействующей сил находим по формулам:

Rx=mx**.

Ry=my** (7).

Rz=mz**.

R²= Rx+Ry+Rz,.

Пример прямой задачи:

Найти давление автомобиля весом Р на мост радиуса R в верхней его точке, если скорость автомобиля V (Рис.3). Заметим, что давление тела на опору называется весом тела. Вес покоящегося автомобиля равен Р. Требуется найти его вес в движении. По третьему закону Ньютона этот вес будет равен нормальной реакции моста N.

Поскольку траектория движения известна, нужно воспользоваться уравнениями в естественных осях:

В проекции на нормаль.

(P/g)(V/R)=P-N.

Значит.

N=(P/g)(g-(V/R) (8).

Чаще встречается.

Обратная задача динамики точки

когда по заданным функциям сил нужно найти закон движения точки.

В этом случае, уравнения в декартовых осях.

mx**= У Fkx (x, y, z;x*, y*, z*;t).

my**= У Fky (x, y, z;x*, y*, z*;t) (9).

mz**= У Fkz (x, y, z;x*, y*, z*;t).

являются системой дифференциальных уравнениями для нахождения трех неизвестных функций времени t.

x (t), y (t), z (t).

Решение этой задачи связано с интегрированием этой системы. Система имеет шестой порядок.

Значит при интегрирование возникнут шесть постоянные интегрирования и решение (второй интеграл уравнений) будет иметь вид:

x=x (t;C₁ C₂ C₃ C₄ C₅ C₆).

y=y (t;C₁ C₂ C₃ C₄ C₅ C₆) (10).

z=z (t;C₁ C₂ C₃ C₄ C₅ C₆).

Наличие постоянных интегрирования указывает на то, что у системы (9)есть множество решений, Иначе говоря силы не определяют однозначно движение точки. Одним и тем же силам могут соответствовать разные траектории движения.

Например движение камня под действием одной и той же траектории может происходить по разным траекториям в зависимости от того как его бросить (Рис.4). Произвольные постоянные интегрирования определяются из начальных условий движения.

t=0:

x=x₀ x*=x₀*.

y=y₀ y*=y₀* (11).

z=z₀ z*=z₀*.

Что бы определить постоянные интегрирования нужно подставить эти условия в решение (10) и его производную (первый интеграл уравнений).

x*=x* (t;C₁ C₂ C₃ C₄ C₅ C₆).

y*=y* (t;C₁ C₂ C₃ C₄ C₅ C₆) (12).

z*=z* (t;C₁ C₂ C₃ C₄ C₅ C₆).

Получим алгебраическую систему относительно постоянных C₁,…C₆ которая всегда имеет единственное решение.

Таким образом движение точки полностью определяется силами и начальными условиями.