Основные формулы теории вероятностей
Й способ. Я, — извлеченный из третьей урны шар был в первой урне; Я2 — во второй урне. Имеем: Предсостояния системы проводится опыт. Найти вероятность определенного его исхода А. Совместные события. Отсюда по аксиоме конечной аддитивности. И теореме умножения имеем Р (А) = X Р (Н,)Р (А/Н,), т. е. формулу (1.14). Вывод ФПВ. Верно представление: А =? АН" где {АП,} — не; Формула полной вероятности… Читать ещё >
Основные формулы теории вероятностей (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Формула полной вероятности
Формула полной вероятности (ФИВ) имеет вид.
где А — искомое событие, а под {Щ можно понимать полную группу несовместных событий или те из них, которые совместны с А.
ФПВ применяется, когда опыт усложняется и становится как бы двухэтапным. Тогда неопределенность предсостояния, т. е. результаты первого этапа, заменяется гипотезами {//,}, г = 1,…, п. Признаки задач на ФПВ:
- а) неопределенность предсостояния системы;
- б) незавершенность опыта (т.е. результат А опыта неизвестен). Постановка задач на ФПВ. В условиях неопределенности
предсостояния системы проводится опыт. Найти вероятность определенного его исхода А.
П
Вывод ФПВ. Верно представление: А =? АН" где {АП,} — не;
1 = 1.
совместные события. Отсюда по аксиоме конечной аддитивности.
П
и теореме умножения имеем Р (А) = X Р (Н,)Р (А/Н,), т. е. формулу (1.14).
Рассмотрим задачи на использование ФПВ.
Задача 1.41. В урну, содержащую два шара неизвестного цвета, опущен белый шар. Найти вероятность того, что извлеченный после этого шар — белый, если все возможные количества белых шаров среди первых двух равновероятны.
Решение
Событие А — извлечь белый шар; Я, (г = 0,1,2) — среди первых двух шаров г белых. Имеем: Р (Я0) = Р (Я,) = Р (Я2) = 1/3; Р (Л/Я0) = 1/3; Р (Л/Я,) = 2/3; Р (Л/Я,) = 1. Теперь по ФПВ получаем Р (А) = 1/3 1/3 + + 1/3 • 2/3 + 1/3 • 1 = 2/3.
Задача 1.42. В первой урне 10 шаров, из них 8 белых, во второй урне 20 шаров, из них 4 белых (шары различимы). Из каждой урны берут наугад по шару и помещают в пустую третью урну, после чего из нее извлекают наугад шар. Найти вероятность того, что он белый.
Решение
1-й способ. Я, — состав третьей урны (г = 1, …, 4): Я, — <<�бб", Я2 — «бч», Я3 — «чб», Я, — «чч», где «б» и «ч» соответственно означают извлечение белого и черного шаров из первой и второй урн в порядке написания. Имеем:
Р (Я,) = 0,8 0,2 = 0,16; Р (Л/Я,) = 1;
Р (Я2) = 0,8 0,8 = 0,64; Р (А/Н2) = 0,5;
Р (Я3) = 0,2 0,2 = 0,04; Р (А/Н3) = 0,5;
Р (Я4) = 0,2 0,8 = 0,16; Р (А/Н<) = 0;
Р (А) = 0,16 + 0,5(0,64 + 0,04) = 0,5.
2-й способ. Я, — извлеченный из третьей урны шар был в первой урне; Я2 — во второй урне. Имеем:
Р (Я,) = Р (Я2) = 0,5; Р (Л/Я,) = 0,8; Р (Л/Я2) = 0,2;
Р{А) = 0,5(0,8 + 0,2) = 0,5.
Таким образом, гипотезы можно выбирать по-разному. При удачно выбранных гипотезах задача решается проще.
Задание 1.16. Из полного набора домино наугад извлекают кость. Определите, с какой вероятностью к ней можно приставить вторую, выбранную наугад.
Задание 1.17. Пусть правило переливания крови следующее: номер группы крови донора меньше либо равен номеру группы крови больного. Определите, с какой вероятностью случайно взятому больному можно перелить кровь от произвольно взятого донора (первая группа крови — у 33,7%, вторая — у 37,5, третья — у 20,9, четвертая — у 7,9% населения).