Аналогия, связанная с распределением геометрических фигур на группы

В основу распределения геометрических фигур на группы кладется какой-либо определенный признак или свойство, поэтому объекты, попавшие в одну группу, можно считать аналогичными между собой.

Покажем, как можно распределять, а соответственно, и указывать аналогичные геометрические фигуры.

Все множество геометрических фигур разобьем сначала на два, а затем на четыре класса, причем сделаем это двумя способами (рис. 2.13). Элементы каждого класса можно считать аналогичными между собой.

Рис. 2.13.

На наш взгляд, выделение таких больших групп геометрических фигур представляет больший интерес с теоретической точки зрения, так как на практике при рассмотрении какой-либо фигуры всегда можно выделить другие свойства этой фигуры, помимо принадлежности ее другой фигуре либо принадлежности области рассмотрения — планиметрии или стереометрии. Поэтому целесообразно рассмотреть с учениками дальнейшее деление геометрических фигур, представленное на рис. 2.13.

Различные основания деления дают нам различные группы аналогичных объектов. Например, аналогичными можно считать фигуры, если они относятся к одному родовому понятию. Действительно, наличие общих свойств таких фигур гарантировано тем, что каждая из них будет обладать свойствами той фигуры, частным случаем которой она является.

Во многих учебниках по методике преподавания математики в теме «Математические понятия» объем и содержание понятия иллюстрируются с помощью понятия «выпуклый многоугольник», которое последовательно сужается, и затем появляются такие понятия, как «ромб» и «прямоугольник», общим для которых служит понятие «параллелограмм».

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы равны. Таким образом, если рассматривать ромб и прямоугольник как особые виды параллелограмма, то ромб можно считать аналогом прямоугольника, при этом вряд ли возможно назвать, например, трапецию аналогом того же прямоугольника. С другой стороны, прямоугольник и трапеция — выпуклые четырехугольники, и, соответственно, как выпуклые четырехугольники обладают некоторыми общими свойствами. Поэтому в других случаях их также можно считать аналогичными фигурами. И в этом, как видно, проявляется субъективный характер аналогии.

Различные виды одной фигуры также можно считать аналогичными между собой, так как в основе своей они имеют одно и то же родовое понятие. Так, например, можно выделить несколько различных групп треугольников, причем треугольники одной группы будут обладать свойством, присущим только им. Действительно, можно рассматривать либо группы остроугольных, прямоугольных, тупоугольных треугольников, либо группы разносторонних, равнобедренных треугольников.

Отметим, что распределение геометрических фигур на группы дает нам не только группы аналогичных фигур, но и нередко лежит в основе выбора направления поиска аналогичных фигур.