Какие задачи решаются с помощью формул полной вероятности и Бейса? Каким условиям должны удовлетворять события?

ТЕОРЕМА 5.1 (Формула полной вероятности). Вероятность события А, которое может наступить только вместе с одним из попарно несовместимых событий Н₁, Н₂ … Н_n, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:

(5.1) .

Метод решения задач на формулу полной вероятности сводится к следующему. В условиях теоремы 5.1 обозначается событие А, вероятность которого нужно найти в примере. Затем обозначаются гипотезы Н_i и вычисляются их вероятности Р (Н_i). Наконец, определяются условные вероятности события, А и по формуле полной вероятности (5.1) находится искомая вероятность события А.

ТЕОРЕМА 5.2 (Формула Бейеса). В условиях формулы полной вероятности для i = 1,. .. , n:

(5.2) .

Формула Бейеса используется, когда событие, А уже произошло. Тогда если до опыта вероятности гипотез были Р (Н_i), то после опыта условные вероятности гипотез будут определяться уже по формуле Бейеса (5.2).

В чем заключается задача о повторении испытаний? Приведите формулу Бернулли.

Предположим, что производится n независимых испытаний, в результате каждого из которых может наступить или не наступить некоторое событие А. Обозначим и определим Р_n(m) — вероятность что событие, А произойдет m раз в n испытаниях. Будем записывать возможные результаты испытаний в виде комбинаций букв, А и; например, А А, что означает, что событие, А осуществилось в 1-м и 4-м испытаниях и не осуществилось во 2-ом и 3-м. Всякую комбинацию, в которой, А встречается m раз, а встречается n — m раз, назовем благоприятной. Количество благоприятных комбинаций равно количеству способов, которыми можно выбрать m мест из n, чтобы разместить буквы, А (буквы на оставшихся местах разместятся однозначно), т. е. числу сочетаний из n по m:

.

Вероятности всех благоприятных комбинаций одинаковы, в каждой из них событие, А (также, как и) происходит одинаковое количество раз, поэтому посчитаем вероятность комбинации в которую, А входит m раз, а входит n — m раз.

Вероятность этой комбинации в силу независимости испытаний на основании теоремы умножения вероятностей, равна также как и для остальных комбинаций:

.

где количество комбинаций .

Все благоприятные комбинации являются несовместными, поэтому по теореме сложения:

.

мы получали формулу Бернулли:

(6.1), где .