Различные трактовки понятия функции

Функциональная линия школьного курса математики является в настоящее время одной из ведущих, определяющих изучение многих тем и разделов курсов алгебры и начал анализа. Особенность материала этой линии состоит в том, что с его помощью можно устанавливать разнообразные связи в обучении.

В процессе эволюции математики понятие функции (и соответствующее ему определение или описание) подвергалось определенным изменениям. Как уже указывалось выше, долгое время Л. Эйлер под функцией понимал всякое аналитическое выражение. Это определение нс только искусственно ограничивало объем понятия функции (она отождествлялась только с одним из способов её задания), но и приводило к различным противоречиям. В частности, не допускалось задание функции двумя аналитическими выражениями. Например, функция вида

не имела права на существование.

Со времен Н. И. Лобачевского и Л. Дирихле в математике укрепилось новое представление о функции как о зависимости одной переменной величины от другой. Такой подход долгое время сохранялся и в школьном курсе математики. Так в учебнике «Алгебра — 7» Ю. Н. Макарычева и др. (М., 1989) дано такое определение функции: «Зависимость переменной у от переменной .v называется функцией, если каждому значению л' соответствует единственное значение у». Это определение имеет ряд недостатков: во-первых, так как переменную рассматривают в учебнике как букву, вместо которой можно подставлять числа, создается впечатление, будто функция — это зависимость между самими буквами у и х; во-вторых, термин «зависимость» означает, что с изменением значений х обязаны меняться значения у, а как быть в этом случае с функцией у

= b? В-третьих, функцию у — - также нельзя подвести под указанное опрсдс;

х

ление (не каждому х, а только х * 0, соответствует единственное значение у).

Приведенное выше определение функции можно заменить следующим: «Переменная у называется функцией переменной х, если каждому допустимому значению .v соответствует единственное значение у». Допустимыми в алгебре считаются значения переменной, при которых выражение имеет смысл. Отсюда следует, что функция должна задаваться только формулой, что значительно сужает объем этого понятия.

В настоящее время существует несколько вариантов определения понятия функции. В частности, понятие функции может выступать как:

• 1) первичное (неопределяемое) математическое понятие;
• 2) отображение одного числового множества в другое;
• 3) особое отношение между элементами множеств;
• 4) некоторое соответствие между элементами множеств.

Иногда функцию определяют как правило (закон), по которому каждому элементу .v из множества X ставится в соответствие строго один элемент у множества Y. Недостатком этого определения является то обстоятельство, что функцией оказывается правило, а не множество, что неестественно, так как известно, что функции можно складывать, умножать и выполнять с ними другие арифметические операции.

В школьном курсе математики использовались две наиболее резко различающиеся методические трактовки понятия функции: генетическая и логическая. При генетической трактовке исходными понятиями являются понятия: переменная величина, функциональная зависимость переменных величин, формула (выражающая одну переменную через комбинацию других переменных), декартова система координат на плоскости.

Достоинства генетической трактовки понятия функции:

• 1) «динамический» характер понятия функциональной зависимости;
• 2) легко выявляется модельный аспект понятия функции относительно изучения явлений природы.

Такая трактовка естественно согласуется с остальным содержанием курса алгебры, так как большинство функций в нем выражаются аналитически или таблично.

Недостатки генетической трактовки понятия функции: переменная величина при таком подходе всегда неявно (или даже явно) пробегает непрерывный ряд числовых значений. Поэтому понятие связывается только с числовыми функциями одного числового аргумента (определенными на числовых промежутках). В обучении же приходится постоянно выходить за эти пределы.

При логической трактовке функция выступает в виде отношения специального вида между двумя множествами, и это отношение удовлетворяет условию функциональности. Начальным этапом изучения понятия функции становится вывод его из понятия отношения. Логический подход вызывает необходимость иллюстрировать понятие функции при помощи разнообразных средств; язык школьной математики при этом обогащается. Помимо формул и таблиц функцию задают стрелками, перечислением пар, используют нс только числовой, но и геометрический материал; геометрическое преобразование при таком подходе становится возможным рассматривать как функцию.

Основные достоинства логической трактовки: обобщенность понятия функции и вытекающие отсюда возможности установления разнообразных связей в обучении математике.

Однако это общее понятие оказывается в дальнейшем связанным главным образом с числовыми функциями одного числового аргумента.

Таким образом, если генетический подход оказывается недостаточным для формирования функции как обобщенного понятия, то логический обнаруживает определенную избыточность.

Следует отмстить, что различия в трактовках функции проявляются с наибольшей резкостью при введении этого понятия. В дальнейшем, при изучении функциональной линии различия постепенно стираются, так как в курсах алгебры и начал анализа изучается не само понятие функции, а в основном конкретно заданные функции и классы функций, их приложения в задачах естествознания и общественного производства.

В современном школьном курсе математики в итоге длительных методических поисков в качестве ведущего был принят генетический подход к понятию функции. Одновременно учитывается все ценное, что можно извлечь из логического подхода.

Формирование понятия функции предполагает выделение в обучении следующих компонентов этого понятия:

• 1) представление о функциональной зависимости переменных величин в реальных процессах и в математике;
• 2) представление о функции как о соответствии;
• 3) построение и использование графиков функций, исследование функций;
• 4) вычисление значений функций, определенных различными способами.

Связь между этими компонентами устанавливается с помощью специальных упражнений.