Классическая логика высказываний

Высказывания

Классическая логика условно разделяется на две теории — исчисления высказываний и исчисления предикатов. Логика высказываний по существу, является частью логики предикатов, в которой методы исчисления распространяются в теоретико-множественной интерпретации на решения задач, близких к рассуждениям на естественном языке.

В книге Р. Столла^[1] эти разделы рассматриваются несколько в ином порядке — теория множеств, исчисление высказываний и исчисление предикатов. В программах курса дискретной математики, к сожалению, теория множеств рассматривается самостоятельно, без демонстрации ее значимости в других математических теориях.

В логике высказываний (proposition logic) рассуждения в вербальной (текстуальной) форме преобразуются в символическую форму, определяются основные законы логически правильных рассуждений. Законы позволяют абстрагироваться от смысла конкретных высказываний, выполнить анализ и преобразования высказываний в математической форме. Интуитивное правильное использование законов в конкретной, имеющей общий смысл области в содержательной форме необходимо в информационном обмене при любых общениях в повседневной деятельности.

Высказывания (propositions) предполагаются как двузначные, по смыслу как истинные {True) или ложные (False) относительно их конкретного содержания.

В логике высказываний используется символическая запись рассуждений па языке логики для формального анализа истинности утверждений и возможных формальных преобразований. При возвращении в текстовую форму с тем же смыслом простых высказываний рассуждения могут оказаться более простыми и убедительными.

Простые высказывания в языке логики обозначаются элементарными формулами (буквами, атомами) — А, В, С, …. Значения (истина — True, ложь — False) простых высказываний и соответствующих символов {Г, F) формально не связаны с каким-либо конкретным смыслом, но подразумевается, что исходный истинный смысл высказывания А = True в некотором контексте в содержательной форме сохраняется при любых повторных использованиях символа А в рассуждениях.

Приведем примеры простых высказываний.

• 1. Свойства (признаки) объектов. Высказывание А = «Петров высокий» истинно (7) в определенном контексте и может быть ложно (F) в другом (например, в другой группе, где он низкий), а высказывание А = «5 — число» истинно в математике.
• 2. Отношения между объектами. Высказывание А = «Олег — брат Сергея» — истинное родственное отношение, но в другом контексте (например, в другой группе) ложно. Высказывание А (7, 5) = «7 больше 5» в численной математике отношение истинное, но в строю В (7, 5) = «7-й меньше 5-го» Ф Ф А (7, 5).

А (Х, У) = «Прямая X расположена на плоскости У». Прямая и плоскость — абстрактные понятия, предложенные математикой в информационном поле геометрических объектов, и размещение прямой на плоскости — абстракция, считающаяся истинной в одной теореме геометрии на плоскости, но ложной в другой — геометрии в пространстве.

3. События. Высказывание А = «Сейчас в городе идет дождь» может быть истинно в Санкт-Петербурге, но в другом городе может быть ложно.

Таким образом, символические высказывания принимают конкретные значения истинности в определенном контексте и предполагаются истинными.

Из простых высказываний формулируются рассуждения, которые в формальной логике рассматриваются как составные высказывания.

Возможно соединение в одном рассуждении высказываний из различных событий, свойств и отношений.

Составные высказывания имеют смысл, если они являются истинными при обмене информацией между источником и приемником в некотором контексте.

Составное рассуждение «Если (3 < 5) и (5 < 7), то (3 < 7)» истинно при истинных по смыслу простых высказываниях и гарантируется законом транзитивности (когда верно, что если первое, то второе, и если второе, то третье, то верно также, что если первое, то третье). Однако рассуждение «Если (3 < 7) и (5 < 7), то (3 < 5)» не гарантировано, так как по смыслу не подчиняется закону транзитивности.

Составные высказывания на языке логики определяются логическими формулами, состоящими из атомов и символов, обозначающих логические связки.

• [1] Столп Р. Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории. М.: Просвещение, 1968.