Геометрическая модель. 
Теория вероятностей и математическая статистика. 
Математические модели

Рассмотрим некоторую область Q на плоскости площадью Sq. Определим вероятность произвольного участка А площадью Sa в этой области как долю его площади в площади всей области:

С помощью такой модели можно, например, описать эксперимент, состоящий в регистрации попадания космической частицы на фотопластинку.

Определение вероятности в соответствии с приведенной формулой полностью согласуется с аксиоматическим определением, поскольку из геометрических свойств площадей непосредственно следует, что Р (А) ^ О, Р (П) = 1, и Р (А + В) = Р (А) + Р{В), если АВ = 0.

Условная вероятность и независимость

Условной вероятностью Р (АВ) события А при условии, что произошло событие В, называют отношение.

вероятности пересечения событий А и В к вероятности события В (предполагается, что Р{В) ф 0).

Из определения условной вероятности непосредственно следует правило умножения:

— вероятность произведения событий равна произведению условной вероятности на вероятность условия.

Рассматривая условные вероятности при условии В, мы фактически переходим к новому пространству элементарных событий, которое является частью первоначального и включает только элементарные события, соответствующие событию В. Доля таких элементов в исходном пространстве элементарных событий равна Р (В). Событие АВ можно интерпретировать как извлечение элементарного события, соответствующего событию А, из совокупности элементарных событий, соответствующих событию В. Доля таких элементарных событий в исходном пространстве элементарных событий равна Р (АВ), а доля их в В равна Р (АВ)/Р (В).

Пример 1.1. Найдем вероятность того, что потомок, полученный в результате скрещивания гетерозиготных родителей, гомозиготен, если он имеет доминантный признак.

Вероятность наличия у потомка доминантного признака равна, как нам уже известно, ³Д. Вероятность гомозиготности при наличии доминантного аллеля, т. е. вероятность пересечения событий {АА, аа} и {АЛ, Аа, аЛ, равна вероятности события {у4Л}, т. е. '/4- Таким образом, искомая условная вероятность равна '/4: ³/t = ¹/з;

С понятием условной вероятности тесно связано понятие независимости событий, хотя можно определить понятие независимости и безотносительно к условной вероятности.

Два события называются независимыми, если вероятность их пересечения равна произведению их вероятностей:

Из этого определения сразу следует, что условная вероятность события А при условии, что произошло независимое событие В, равна безусловной вероятности события А:

и также, что условная вероятность события В при условии, что произошло независимое событие А, равна безусловной вероятности события В:

Более того, любое из условий Р (АВ) = Р{А) или Р (ВА) = = Р (В) влечет выполнение соотношения.

определяющего независимость.

Пример 1.2. Рассмотрим два события: А — попадание частицы в левую половину фотопластинки, В — попадание частицы в нижнюю половину фотопластинки. События А к В имеют вероятности '/гСобытие АВ, соответствующее попаданию частицы в пересечение А и В, т. е. в левый нижний угол фотопластинки, имеет вероятность 'Д. Поскольку '/" = '/г • ¹/г, т. е. Р (АВ) = Р (А)Р (В), события Aw В независимы.

Пример 1.3. Зависимы ли события «наличие доминантного признака» {АА, Аа, аА} и гомозиготность { АА, аа}'! Вероятность первого события равна ³Д, вероятность второго — ¹/г- Вероятность их пересечения равна '/. Поскольку 'Д ф ³Д? '/г, события не являются независимыми.

К этому же выводу можно прийти иначе. В примере 1.1 было показано, что вероятность гомозиготности при наличии доминантного аллеля равна ¹/з- Вообще же вероятность гомозиготного потомка равна ¹/гТаким образом, условная вероятность не равна безусловной и, следовательно, события зависимы.

Пример 1.4• Рассмотрим случайное испытание, состоящее из двух последовательных бросаний монеты. Результатом этого события будут четыре равновероятных элементарных события: герб — герб, герб — решка, решка — герб, решка — решка (или ГГ, ГГ, ГГ, ГГ). Зависимы ли события «выпадение герба в первом бросании» А = {ГГ, ГГ} и «выпадение герба во втором бросании» В = {ГГ, ГГ}? Имеем Р (А) = % Р (В) = У₂, Р (АВ) = = Г (ГГ) = ¹/|. Поскольку Р (АВ) = Р (А)Р (В), то события независимы.

Задачи для самостоятельного решения.

• 1. Два охотника стреляют в волка, причем каждый производит по одному выстрелу. Для первого охотника вероятность попадания в цель равна 0,7, для второго — 0,8. Какова вероятность хотя бы одного попадания? Как изменится результат, если охотники произведут по два выстрела?
• 2. Докажите, что события А и В (А и В) независимы, если независимы А и В.
• 3. Докажите, что если два события А и В с положительными вероятностями несовместны, то они зависимы.
• 4. Задача «осторожного фальшивомонетчика». Дворцовый чеканщик кладет в каждый ящик вместимостью в 100 монет одну фальшивую. Король подозревает чеканщика и подвергает проверке монеты, взятые наудачу по одной в каждом из 100 ящиков. Какова вероятность того, что чеканщик не будет разоблачен?
• 5. Известно, что при трех бросаниях игральной кости цифра 6 выпала хотя бы один раз. Какова вероятность того, что она выпала два раза?
• 6. Предположим, что в семье с тремя детьми все возможные распределения детей по полу равновероятны. Событие А — «в семье имеются дети обоих полов» и событие В — «в семье имеется не более одной девочки». 1) События Аи В независимы? 2) А для семьи, имеющей двоих детей, события Аи В независимы?