Теория вероятности. 
Теория вероятности

• 1. Вероятности того, что каждый из трех кассиров занят обслуживанием покупателей, равны соответственно 0,7; 0,8; 0,9. Найти вероятность того, что в данный момент заняты обслуживанием покупателей:
  • а) все кассиры;
  • б) только один кассир;
  • в) хотя бы один кассир.

Решение:

В данной задаче независимо производятся три эксперимента состоящие в работе каждого из трех кассиров.

Обозначим:

— событие состоящее, в том, что первый кассир занят обслуживанием покупателей;

— событие состоящее, в том, что второй кассир занят обслуживанием покупателей;

— событие состоящее, в том, что третий кассир занят обслуживанием покупателей;

По условию:

Событие В — все кассиры заняты обслуживанием покупателей.

б) Событие С — занят обслуживанием только один кассир.

Событие С можно представить в виде:

События, и — попарно несовместные, независимые события. По теоремам сложения и умножения для несовместных и независимых событий получим: вероятность кассир индекс покупатель Ответ: вероятность того, что в данный момент времени занят обслуживанием покупателя только один кассир, равна 0,092.

в) Событие противоположное событию D, состоит в том, что в данный момент ни один из кассиров не занят обслуживанием покупателей Учитывая независимость событий, и по теореме умножения вероятностей получаем:

Следовательно:

Ответ: вероятность того, что в данный момент времени занят обслуживанием покупателя хотя бы один кассир, равна 0,994.

• 2. На заочном отделении вуза 80% всех студентов работают по специальности. Какова вероятность того, что из пяти отобранных случайным образом студентов по специальности работают:
  • а) два студента;
  • б) хотя бы один студент?

Решение:

В нашем случае число испытаний n=5, тогда воспользуемся формулой Бернулли.

а) m=2.

Вероятность того, что из пяти отобранных случайным образом студентов по специальности работают два студента, равна 0,0512.

• б) вероятность того, что из пяти отобранных случайным образом студентов по специальности работают хотя бы один студент:
  • 3. На почту поступило 8000 писем. Вероятность того, что на случайно взятом конверте отсутствует почтовый индекс, равна 0,0005. Найти вероятность того, что почтовый индекс отсутствует:
    • а) на трех конвертах;
  • б) не менее чем на трех конвертах.

Решение:

В нашем случае число испытаний n=8000, а вероятность очень мала p=0,0005, тогда используем формулу Пуассона.

• а) Вероятность того, что почтовый индекс отсутствует на трех конвертах m=3:
• б) Вероятность того, что почтовый индекс отсутствует не менее чем на трех конвертах m?3:
  • 4. У торгового агента имеется пять адресов потенциальных покупателей, к которым он обращается с предложением приобрести реализуемый его фирмой товар. Вероятность согласия потенциальных покупателей оценивается соответственно как 0,5; 0,4; 0,4; 0,3; 0,25. Агент обращается к ним в указанном порядке до тех пор, пока кто-нибудь не согласится приобрести товар. Составить закон распределения случайной величины — числа покупателей, к которым придётся обратиться торговому агенту. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Решение:

Пусть дискретная случай величина — X, потенциальные покупатели — 1, 2, 3, 4, 5, тогда вероятность, что агент обратится к потенциальному покупателю — .

Следовательно, закон распределения дискретной случайной величины X, будет иметь вид:

Событие, А — потенциальный клиент согласен приобрести товар, тогда:

P (А₁)=0,50.

P (А₂)=0,40.

P (А₃)=0,40.

P (А₄)=0,30.

P (А₅)=0,25.

Событие, имеющее противоположное значение событию А:

Агент сможет обратиться к следующему потенциальному покупателю только в том случае, если предыдущий откажется от покупки. Значит вероятность наступления события:

При правильном расчете сумма вероятностей должна быть равна 1.

УP (i)=0,50+0,20+0,12+0,054+0,0315+0,0945 = 1.

Таким образом, закон распределения случайной величины имеет вид:

Теперь можем найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины.

Математическое ожидание:

Дисперсия случайной величины:

5. Плотность вероятности нормально распределенной случайной величины Х имеет вид:

Найти:

• а) математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х;
• б) вероятность P (-1 < Х < 0);
• в) вероятность того, что отклонение случайной величины Х от ее математического ожидания не превысит 2,5 (по абсолютной величине).

Решение:

а) Случайная величина Х распределена по нормальному закону (или закону Гаусса), если плотность вероятности ее имеет вид:

где а=М (Х) — математическое ожидание, ²=D (x) — дисперсия случайно величины.

Значит, математическое ожидание а=1, среднее квадратическое отклонение случайной величины .

б) Вероятность рассчитывается по функции Лапласа:

В нашем случае:

• в) Вероятность того, что отклонение случайной величины Х от ее математического ожидания не превысит 2,5, равна
• 6. Имеются выборочные данные о распределении вкладчиков по размеру вклада в Сбербанке города

Найти:

• а) вероятность того, что средний размер вклада в Сбербанке отличается от среднего размера вклада в выборке не более чем на 5 тыс. руб. (по абсолютной величине);
• б) границы, в которых с вероятностью 0,95 заключена доля вкладов, размер которых менее 60 тыс. руб.;
• в) объем повторной выборки, при которой те же границы для доли вкладов (см. п. б) можно гарантировать с вероятностью 0,9876; дать ответ на тот же вопрос, если никаких предварительных данных о рассматриваемой доле нет.

Решение:

Вычислим сначала числовые характеристики выборки. Построим соответствующий простой вариационный ряд, выбрав в качестве вариант середины интервалов:

Найдем среднее:

Найдем исправленную дисперсию:

Найдем исправленное среднеквадратичное отклонение: .

Расчеты в таблице ниже:

а) Найдем вероятность того, что средний размер вклада в Сбербанке отличается от среднего размера вклада в выборке не более чем на 5 тыс. руб. (по абсолютной величине), то есть что предельная ошибка выборки равна 5.

Вероятность 0,99 994 или 99,994%.

б) Найдем границы, в которых с вероятностью 0,95 заключена доля вкладов, размер которых менее 60 тыс. руб.

Выборочная доля вкладов, размер которых менее 60 тыс. руб. равна .

Предельная ошибка для доли.

.

Коэффициент.

.

Получаем:

Тогда границы для доли всех вкладов размером менее 60 тыс. руб. имеют вид:

От 17,94% до 26,06% всех вкладов.

в) Найдем объем выборки, при которой те же границы для доли вкладов, полученные в пункте б), можно гарантировать с вероятностью 0,9876.

Нужно найти объем выборки, при котором предельная ошибка будет также равна.

Формула для объема выборки имеет вид:

.

Коэффициент.

.

Подставляем все данные:

.

Дадим ответ на тот же вопрос, если никаких предварительных данных о рассматриваемой доле нет. Тогда рекомендуется брать. Получаем:

7. По данным задачи 1, используякритерий Пирсона, на уровне значимости = 0,05 проверить гипотезу о том, что случайная величина X — размер вклада в Сбербанке — распределена по нормальному закону. Построить на одном чертеже гистограмму эмпирического распределения и соответствующую нормальную кривую Решение:

Используем данные, полученные в предыдущем задании:

;

.

В качестве дисперсии нормального закона распределения следует взять исправленную выборочную дисперсию. Но т.к. количество наблюдений — 400 достаточно велико, то подойдет и «обычная» .

Для расчета вероятностей попадания случайной величины в интервал используем функцию Лапласа:

;

;

Вычислим теоретические частности или вероятности.

;

;

;

;

Составим таблицу:

Таким образом,. Используя таблицу Х² распределения определим критическое значение Х²_крит при.

Х² (0,05;2) = 5,99.

Поскольку, то гипотеза Н₀ о нормальном распределении случайной величины Х с параметрами, не принимается.

Построим теоретическую нормальную кривую.

8. Распределение 110 предприятий по стоимости основных производственных фондов Х (млн. руб.) и стоимости произведенной продукции Y (млн руб.) представлено в таблице.

Необходимо:

• 1) Вычислить групповые средние, построить эмпирические линии регрессии.
• 2) Предполагая, что между переменными Х и Y существует линейная корреляционная зависимость:
  • а) найти уравнения прямых регрессии, построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии и дать экономическую интерпретацию полученных уравнений;
  • б) вычислить коэффициент корреляции; на уровне значимости оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направлении связи между переменными Х и Y;
  • в) используя соответствующее уравнение регрессии, определить среднюю стоимость произведенной продукции, если стоимость основных производственных фондов составляет 45 млн руб.

Решение:

Составим корреляционную таблицу, в качестве вариант выберем середины интервалов.

1) Найдем групповые средние по формулам:

;

.

Вычисления проведем в Excel, получаем:

Из вида эмпирических линий регрессии можно заключить, что между переменными наблюдается линейная зависимость.

,.

.

,.

.

.

= 160 900.

Уравнения прямых регрессии:

Экономическая интерпретация полученных уравнений:

— при увеличении стоимости основных производственных фондов на 1 млн руб., стоимость произведенной продукции растет в среднем на 1,117 млн руб.

— при увеличении стоимости произведенной продукции на 1 млн руб., стоимость основных производственных фондов растет в среднем на 0,797 млн руб.

По таблице критерия Стьюдента для уровня значимости 0,05 находим. Так как наблюдаемое значение 29,6 больше критического, коэффициент корреляции значим.