Пространственно-временные метрики типа Минковского

Свой знаменитый доклад «Пространство и время» Г. Минковский сделал 21 сентября 1908 г. на собрании немецких естествоиспытателей и врачей в Кельне. В нем в доступной форме он разъяснил свои представления о формальном объединении в одно целое пространства и времени. Он говорил, что «предметом нашего восприятия всегда являются только места и времена, взятые вместе. Никто еще не наблюдал какого-либо места иначе, чем в некоторый момент времени, и какое-нибудь время иначе, чем в некотором месте».

Рассматривая произвольную пространственную точку в какой-нибудь момент времени, Г. Минковский называет фиксированную совокупность (х, у, z, t) мировой точкой, а многообразие всех мыслимых ее значений — четырехмерным миром. В этом мире он записал метрику в виде ds² = c²dr — (dx² + dy + -dz²), с — скорость света, и тем самым сообщил ей размерность квадрата длины, но мог также воспользоваться и другим представлением:

в котором метрика имеет размерность квадрата времени.

Важным свойством метрики Минков-ского (независимо от формы представления) является ее инвариантность относительно преобразований Лоренца или, что-то же самое, относительно инерциальных систем отсчета.

Введенные в предыдущих разделах понятия собственного времени процесса и формулы для вычисления их дифференциалов представляют возможность построения пространственно-временных метрик типа Минковского. Действительно, для одномерного процесса можно воспользоваться либо выражением, которые различаются размерностями, приписываемыми ds². Отметив, что мы опускаем в этих выражениях натуральную меру времени е. Кроме того, переменная I и ее конкретные значения 1 = а и l — b должны быть исключены с помощью функции Ј = Ј(*), обратной к функции состояния х = х (1).

либо.

Условие ds² = 0 на диаграмме (х, т) определяет два однопараметрических семейства мировых линий. Одно из семейств удовлетворяет уравнению (5), другое — уравнению, которое отличается от (5) всего лишь знаком минус перед правой частью и определяет, по-видимому, собственное время процесса при обратном его течении.

Если в произвольной мировой точке процесса взять произвольное направление, отличное от мировой линии, то ds² в общем случае может иметь как положительное, так и отрицательное значение. Для того чтобы ds² сделать знакоопределенной, потребуется наложить какие-то дополнительные ограничения на свойства процесса. Г. Минковский обеспечил своей метрике положительное значение, приняв следующую аксиому: «Субстанция (материя или электричество), находящаяся в любой мировой точке, всегда при надлежащем определении пространства и времени может быть рассматриваема как находящаяся в покое». Или же иначе: скорость света является верхним пределом для всевозможных субстанциональных скоростей.

Теперь обратимся к конечномерным процессам. Если придерживаться понятия вектора собственного времени, характеризующего эволюцию состояний процесса, то можно предложить к рассмотрению пространственно-временные метрики вида.

Как и раньше, переменная и ее конкретные значения От и 6, должны быть выражены через я с помощью функций, обратных к Xi = Xi{l).

Если же вместо вектора собственного времени процесса вводится понятие общего времени, дифференциал которого задается формулой (8), то.

а если же дифференциал задается формулой (9), то.

В этих двух соотношениях ds имеет размерность т. Если мы пожелали бы иметь дело с соотношениями, в которых ds обладает размерностью х, то получить их могли бы без особого труда. Соответствующие соотношения мы не приводим только потому, что они довольно громоздкие.

Относительно введенных здесь пространственно-временных метрик конечномерного процесса следует высказать почти дословно те же самые замечания, что и в случае одномерного процесса.