Уравнения и неравенства как математические модели

Уравнения, неравенства и их системы являются одним из наиболее распространенных инструментов решения задач, возникающих в реальной жизни.

С уравнением как с математической моделью вы работали в школе. С их помощью вы решали текстовые задачи.

Пример 3.20.

Предлагается краткая запись условия задачи на движение:

Нужно из предложенного списка выбрать уравнение, являющееся моделью ситуации, описанной в задаче и кратко зафиксированной в таблице:

Х + Э X

• 2) 4(х + 5) = Юдг,
• 3) 10(.г + 5) = Ахг_у
• 4) Юл — 4(х + 5) = 0;
• 5) 10. г + 5(.г + 5) = 0.

Решение

Основой для составления уравнения к данной задаче является формула S = Vt, где 5 — расстояние, пройденное телом, движущимся со скоростью V в течение времени t.

Еще одно основание для составления уравнения — равенство расстояний, которое преодолели пешеход и велосипедист.

Уравнение, которое соответствует условию задачи, — это уравнение 2. Уравнение 4 фиксирует ту же взаимосвязь данных, это преобразованное уравнение 2. Поэтому из предложенного списка удовлетворяют данной таблице уравнения 2 и 4.

Ответ'. 2 и 4.

Пример 3.21.

Предприятие выпускает три вида продукции, используя сырье трех типов. Необходимые характеристики указаны в таблице. Требуется определить объем выпуска продукции каждого тина при заданных запасах сырья.

Решение

Обозначим неизвестные объемы выпуска через х, г/, г, запишем балансовые соотношения. Они образуют систему из трех уравнений с тремя неизвестными:

Решив эту систему, получим желаемый результат. В результате имеем:

Ответ: 200 ед. первого вида продукции; 150 ед. второго вида и 160 ед. третьего вида.

Заметим, что в нашем случае мы получили целые значения, но так может получиться не всегда. Если получаются дробные значения, то искомым значением будет целая часть полученного результата.

Пример 3.22.

Задумано целое число. Известно, что если к квадрату этого числа прибавить 15, то получится число большее, чем произведение задуманного числа и 8. Если к квадрату задуманного числа прибавить 63, то получится число, меньшее, чем произведение задуманного числа и 16. Можно ли однозначно определить задуманное число? Если да, то определим его.

Решение

Составим на основе данных задачи систему неравенств:

Решением первого неравенства является объединение лучей: хе (-со; 3) и (5; +<�о).

Решение второго неравенства является интервал х е (7; 9).

Решением системы неравенств является интервал (7; 9), который содержит единственное целое число 8. Оно и является задуманным.

Ответ: 8.

Сформулируем геометрическую задачу, моделью которой будет та же система неравенств. Найдите сторону квадрата, если известно, что значение площади квадрата на 15 меньше значения его удвоенного периметра и на 63 меньше его периметра, увеличенного в четыре раза.