Момент количества движения материальной точки относительно центра и оси

• 1. Алгебраический момент количества движения относительно центра. Алгебраический момент количества движения материальной точки относительно некоторого центра О — скалярная величина, взятая со знаком (+) или (-) и равная произведению модуля количества движения m на расстояние h (перпендикуляр) от этого центра до линии, вдоль которой направлен вектор m:
• 2. Векторный момент количества движения относительно центра.

Векторный момент количества движения материальной точки относительно некоторого центра О — вектор, приложенный в этом центре и направленный перпендикулярно плоскости векторов m и в ту сторону, откуда движение точки видно против хода часовой стрелки. Это определение удовлетворяет векторному равенству.

Кинетический момент механической системы относительно центра и оси.

1. Кинетический момент относительно центра.

2. Кинетический момент относительно оси.

Кинетическим моментом или главным моментом количеств движения механической системы относительно некоторой оси называется алгебраическая сумма моментов количеств движения всех материальных точек системы относительно той же оси.

3. Кинетический момент твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z с угловой скоростью .

Теорема об изменении момента количества движения материальной точки относительно центра и оси.

1. Теорема моментов относительно центра.

Производная по времени от момента количества движения материальной точки относительно некоторого неподвижного центра равна моменту силы, действующей на точку, относительно того же центра.

2. Теорема моментов относительно оси.

Производная по времени от момента количества движения материальной точки относительно некоторой оси равна моменту силы, действующей на точку, относительно той же оси.

Теорема об изменении кинетического момента механической системы относительно центра и оси.

Теорема моментов относительно центра.

Следствие. Если главный момент внешних сил относительно некоторого центра равен нулю, то кинетический момент системы относительно этого центра не изменяется (закон сохранения кинетического момента).

2. Теорема моментов относительно оси.

Производная по времени от кинетического момента механической системы относительно некоторой неподвижной оси равна сумме моментов всех внешних сил, действующих на систему, относительно этой оси.

Следствие. Если главный момент внешних сил относительно некоторой оси равен нулю, то кинетический момент системы относительно этой оси не изменяется.

Например, = 0, тогда L_z = const.

Работа и мощность сил.

Работа силы — скалярная мера действия силы.

1. Элементарная работа силы.

Элементарная работа силы — это бесконечно малая скалярная величина, равная скалярному произведению вектора силы на вектор бесконечного малого перемещения точки приложения силы:; - приращение радиуса-вектора точки приложения силы, годографом которого является траектория этой точки. Элементарное перемещение точки по траектории совпадает с в силу их малости. Поэтому.

если то dA > 0;если, то dA = 0;если , то dA < 0.

2. Аналитическое выражение элементарной работы.

Представим векторы и d через их проекции на оси декартовых координат:

, . Получим (4.40).

3. Работа силы на конечном перемещении равна интегральной сумме элементарных работ на этом перемещении.

Если сила постоянная, а точка ее приложения перемещается прямолинейно, то.

4. Работа силы тяжести. Используем формулу: Fx = Fy = 0; Fz = -G = -mg;

.

где h- перемещение точки приложения силы по вертикали вниз (высота).

При перемещении точки приложения силы тяжести вверх A₁₂= -mgh (точка М₁ — внизу, M₂ — вверху).

Итак,. Работа силы тяжести не зависит от формы траектории. При движении по замкнутой траектории (M₂совпадает с М₁) работа равна нулю.

5. Работа силы упругости пружины.

Пружина растягивается только вдоль оси х :

F_y = F_z = О, F_x = = -сх;

где — величина деформации пружины.

При перемещении точки приложения силы из нижнего положения в верхнее направление силы и направление перемещения совпадают, тогда.

Поэтому работа силы упругости.

.

.

где — конечный угол поворота;, где п — число оборотов тела вокруг оси.

Кинетическая энергия материальной точки и механической системы. Теорема Кенига.

Кинетическая энергия — скалярная мера механического движения.

Кинетическая энергия материальной точки — скалярная положительная величина, равная половине произведения массы точки на квадрат ее скорости,.

т. е.

Кинетическая энергия механической системы — арифметическая сумма кинетических энергий всех материал точек этой системы:

Кинетическая энергия системы, состоящей из п связанных между собой тел, равна арифметической сумме кинетических энергий всех тел этой системы:

Теорема Кенига.

Кинетическая энергия механической системы в общем случае ее движения равна сумме кинетической энергии движения системы вместе с центром масс и кинетической энергии системы при ее движении относительно центра масс:

.

где Vkc — скорость k-й точки системы относительно центра масс.

Кинетическая энергия твердого тела при различном движении.

Поступательное движение.

Вращение тела вокруг неподвижной оси., где — момент инерции тела относительно оси вращения.

3. Плоскопараллельное движение., где — момент инерции плоской фигуры относительно оси, проходящей через центр масс.

При плоском движении тела кинетическая энергия складывается из кинетической энергии поступательного движения тела со скоростью центра масс и кинетической энергии вращательного движения вокруг оси, проходящей через центр масс, ;

Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки Теорема в дифференциальной форме.

Дифференциал от кинетической энергии материальной точки равен элементарной работе силы, действующей на точку,.

Теорема в интегральной (конечной) форме.

Изменение кинетической энергии материальной точки на некотором перемещении равно работе силы, действующей на точку, на том же перемещении.

Теорема об изменении кинетической энергии механической системы.

Теорема в дифференциальной форме.

Дифференциал от кинетической энергии механической системы равен сумме элементарных работ внешних и внутренних сил, действующих на систему.

Теорема в интегральной {конечной) форме.

.

Закон сохранения механической энергии материальной точки и механической системы.

Если на материальную точку или механическую систему действуют только консервативные силы, то в любом положении точки или системы сумма кинетической и потенциальной энергий остается величиной постоянной.

Для материальной точки.

Для механической системы Т+ П= const.

где Т+ П — полная механическая энергия системы.

Динамика твердого тела Дифференциальные уравнения движения твердого тела Эти уравнения можно получить из общих теорем динамики механической системы.

1. Уравнения поступательного движения тела — из теоремы о движении центра масс механической системы В проекциях на оси декартовых координат.

;; .

2. Уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси — из теоремы об изменении кинетического момента механической системы относительно оси, например, относительно оси.

Так как кинетический момент L_z твердого тела относительно оси, то если.

;

Так как или, то уравнение можно записать в виде или, форма записи уравнения зависит от того, что следует определить в конкретной задаче.

Дифференциальные уравнения плоскопараллельного движения твердого тела представляют собой совокупность уравнений поступательного движения плоской фигуры вместе с центром масс и вращательного движения относительно оси, проходящей через центр масс:

,

Физический маятник.

Физическим маятником называется твердое тело, вращающееся вокруг горизонтальной оси, не проходящей через центр масс тела, и движущееся под действием силы тяжести.

Дифференциальное уравнение вращения.

.

В случае малых колебаний .

Тогда, где.

Решение этого однородного уравнения .

Пусть при t=0 Тогда.

— уравнение гармонических колебаний.

Период колебаний маятника.

Приведенная длина физического маятника — это длина такого математического маятника, период колебаний которого равен периоду колебаний физического маятника.