Переходные процессы в мостовой выпрямительной схеме с предвключенными сопротивлениями в цепи переменного тока

В схеме, приведенной на рис. 16.10, а, к источнику синусоидальной ЭДС ?_msin (cot + ф) подключается цепь, состоящая из комплексного сопротивления Z = R+ jcoL и последовательно соединенного с ним выпрямительного моста с резистором R_H и индуктивностью L_H на выходе. Переходный процесс рассматриваем, полагая, что L_H/R_H «Т и L/R < Т, где Т = 1//, а/— частота источника ЭДС.

Рис. 16.10.

В качестве иллюстрации на рис. 16.10, б представлена осциллограмма переходного процесса при R_H = 4 Ом, L_H = 0,4 Гн, R = 20 Ом, / = 50 Гц. Из рисунка видно, что напряжение на входе моста и_вх = и_аЪ плавно уменьшается по амплитуде и одновременно с этим плавно нарастает среднее за полпериода значение тока i_H. Длительность переходного процесса составляет примерно 9Т, что значительно меньше длительности переходного процесса 3L_H/R_H = 15Т при подключении последовательно соединенных R_H и L_H непосредственно к источнику постоянной ЭДС. Форсирование переходного процесса произошло благодаря динамическому перераспределению напряжения источника ЭДС между сопротивлением Z и входом выпрямительного моста.

При расчете параметров переходного процесса воспользуемся методом медленно изменяющихся амплитуд токов и напряжений на элементах цепи переменного тока и медленно изменяющихся постоянных составляющих токов и напряжений на элементах цепи выпрямленного тока.

Вольт-амперную характеристику каждого диода в схеме опишем формулой.

Напряжения на диодах п_д и токи i_a через них служат связующим звеном между процессами в цепях переменного и выпрямленного токов. В установившемся режиме напряжения на диодах н_д1(0 = п_д3(0, н_д2(t) = = н_д4(0 = п_д1(1 — Т/2) являются периодическими функциями времени и могут быть представлены рядами Фурье:

При переходном процессе все амплитуды слагаемых рядов медленно изменяются во времени. Сначала ограничимся учетом постоянных составляющих рядов и первых гармоник, после этого приближенно учтем наличие высших гармоник и их влияние на переходный процесс. Влияние высших гармоник на ток i_H учитываем с помощью коэффициента К_г, а на ток i — коэффициентом К₃. Считаем, что в каждом плече моста п диодов. Уравнения для цепей выпрямленного и переменного токов соответственно имеют вид.

Если не учитывать четные гармоники рядов, то.

Здесь -2U₀ — постоянная составляющая напряжения на зажимах dc моста. В свою очередь напряжение и_аЬ на зажимах моста без учета третьей гармоники.

где через 2U_m обозначена амплитуда первой гармоники на входе моста.

Выразим токи i_H и i через и_д0 и f/_Amsino)t. С этой целью подставим укороченные ряды для п_д1 и п_д2 в формулу (16.78):

Медленно изменяющуюся «постоянную» составляющую тока i_H обозначим через i_H0. Из уравнения (16.80) для нее следует:

Затем учтем медленность изменения амплитуд первой гармоники напряжения U_m и тока 1_т во времени ^т «: щ[/_т и —^— «; ш7_т и вместо.

dt dt

(16.81) запишем уравнение.

Разобьем его на два уравнения (для синусных и косинусных компонент), возведем каждое из них в квадрат, сложим и придем к уравнению вида.

Разрешим (16.86) относительно 2U_m:

и примем во внимание следующее.

1. При описании ВАХ диодов формулой (16.78) токи i и ?_н оказываются выраженными через показательную и бесселевы функции (см. (16.82) и (16.83)). За счет резкого изгиба ВАХ диодов вблизи начала координат значения аргументов этих функций при переходном и установившемся режиме выпрямительной схемы оказываются значительно больше 5; например, величина bU_m в начале переходного режима может оказаться равной 20. Но уже при х > 5 бесселевы функции J₀(jx) и (-jJ^x)) практически равны друг другу и могут быть заменены асимптотическим выражением е^х/(2тгх). Кроме того, при bU_m > 8 можно в формуле (16.82) не учитывать 1, при этом из (16.82) и (16.83) следует,.

_г 2 К₂.

что 1_т =-—i_H о;

^Ki

2. Рассмотрим понятие о средних за полупериод Т/2 значениях следующих величин: тока ?_н0с, напряжения 1/_д0с, амплитуд U_mc и 1_тс, определив их следующим образом:

2 к

Рассчитаем величину 2К₂/К₁ в выражении 1_т=—-?_н0. Исходим.

^К1

из того, что электрический заряд, проходящий по цепи переменного тока за полупериод Т/2, по закону сохранения заряда равняется заряду, прошедшему за то же время по цепи выпрямленного тока, т. е. должно выполняться соотношение.

отсюда 1_тс = 1,57?_н0с и 2К₂/К₁ = 1,57.

Зависимость между плавно изменяющимися значениями 1_т1 и ?_н0 примем такой же, как для дискретных значений 1_тс и ?_н0с (так как эта зависимость выполняется для любого полупериода переходного процесса).

3. Оценим влияние четных гармоник на выходе моста на работу схемы. Сначала выясним, влияют ли они на величины средних за полупериод Т/2 напряжения 1/_д0с и заряда:

Так как половине периода на частоте/соответствует полный период на частоте 2/, в установившемся режиме работы четные гармоники на выходе моста не оказывают влияния на и_д0с и среднее за полупериод значение заряда. При медленно изменяющихся амплитудах.

влияние четных гармоник на значения С/_д0с и электрического заряда за полупериод невелико. Отметим, что четные гармоники способствуют увеличению времени нахождения диодов в проводящем состоянии.

4. Определим теперь соотношение между средними за полупериод значениями и_дтс и 1/_д0с при переходном процессе. Если бы диоды имели идеально прямоугольные ВАХ (см. рис. 15.39, в), то при протекании токов в них не было бы тепловых потерь, а энергия, доставляемая за полупериод со стороны входа аЪ моста схемы на рис. 16.10, а источником питания схемы на первой гармонике, была бы равна энергии, которую со стороны выхода cd мост доставил бы за то же время в цепь выпрямленного тока, т. е. выполнялось бы соотношение.

Здесь 2U_2mc — среднее за полупериод значение амплитуды, а (3 — фазы напряжения второй гармоники на выходе моста; 1_2тс — среднее за полупериод значение амплитуды, а |/ — фазы второй гармоники тока на выходе моста:

После интегрирования, сокращения на п и 7/2 получаем где К_ъ = l + ^mAmcCOSV.

2Цц0с1н0с С помощью коэффициента К₃ в выражении (16.89) учтены тепловые потери в резисторе от тока второй гармоники. Коэффициент зависит от величин R_H, L_H и L_H/R_H и при L_H/R_H «Т равен примерно 1,10—1,18 (примем его равным 1,15). С ростом L_H/R_H коэффициент К₃ уменьшается. Учитывая, что I_mc = 1,57?_н0с, из (16.89) определим.

5. Оценим влияние третьих гармоник напряжения на зажимах ab моста 2n (U_3s sin3cot + t/_3ccos3cot) на работу схемы. От третьих гармоник напряжения через резистор R, индуктивность L и источник ЭДС протекает.

2 nJul+Ul

третья гармоника тока, амплитуда которого 1_3т =, ' ^=. Ток1_3т уве;

л/ R² + (3coL)²

_n Rljji R, J. Q Ч личивает тепловые потери в резисторе R со значения —— до — (7^ + 1_3т).

Дополнительная тепловая энергия, выделяющаяся в резисторе R от третьей гармоники, восполняется на первой гармонике. Ее в расчетном отношении учтем, умножив R в уравнении (16.81) на коэффициент К₄ = = 1 + (l_3m//_m)², не изменяя значение тока 1_т. В первом приближении К₄ ~ ~ 1,02 1,08, с ростом отношения L/R К₄ уменьшается.

Затем обратимся к уравнению (16.85), заменяем в нем 2U_m на 1,365U_m, учитывая, что 2U_m определено формулой (16.87). В формуле (16.87) заменяем 1_т на l, 57i_H0 и умножаем R на К₄. В результате получаем:

Разрешаем уравнение (16.90) относительно.

at

Здесь.

В (16.91) разделим переменные и получим формулу для определения текущего значения времени t_TeK, соответствующего текущему значению тока 1_н0тек> полагая, что при t = 0 i_H0 = 0:

Установившееся значение тока i_HOy получим, приравняв к нулю/(1_н0):

Начальная фаза Ф источника ЭДС на входе схемы на рис. 16.10, а при L_H/R_H > Т может повлиять на длительность переходного процесса на величину порядка (0,5 -г-1,0) Г.