Аффинные задачи в стереометрии

Свойства аффинных преобразований:

• 1) По свойствам координат аффинное преобразование является взаимно однозначным отображением плоскости на плоскость:
  • — каждая точка имеет образ и притом только один;
  • — разные точки имеют разные образы;
  • — каждая точка области значений имеет прообраз.
• 2) Так как аффинное отображение сохраняет координаты точек, то оно сохраняет уравнения фигур. Отсюда следует, что прямая переходит в прямую.
• 3) Преобразование, обратное к аффинному, есть снова аффинное преобразование.
• 4) Точки, не лежащие на одной прямой, переходят в точки, не лежащие на одной прямой, а, значит, пересекающиеся прямые — в пересекающиеся прямые, а параллельные — в параллельные.
• 5) При аффинных преобразованиях сохраняются отношения длин отрезков, лежащих на одной или параллельных прямых.
• 6) Отношения площадей многоугольников также сохраняются.
• 7) Не обязательно сохраняются отношения длин отрезков непараллельных прямых, углы.

Часто бывает удобно при решении задач на аффинные свойства перейти с помощью аффинных преобразований к более простым фигурам, например, к правильному треугольнику. А затем с помощью обратного аффинного преобразования перенести полученный результат на искомую фигуру.

Задача 5 (олимпиада 11 класс). Треугольная пирамида рассечена плоскостью так, что медианы боковых граней разбиты точками пересечения в отношении 2:1,3:1 и 4:1, считая от вершины пирамиды. В каком отношении, считая от вершины пирамиды, разбиты боковые рёбра? (Из материалов МГТУ им. Баумана). Ответ: 12:7, 12:5, 12:1.

• 1) В задаче фигурирует произвольная пирамида, в которой проведены медианы (а быть медианой — это аффинное свойство), на медианах взяты пропорциональные отрезки (при аффинном преобразовании сохраняются отношения длин отрезков, лежащих на одной прямой). Значит, эту задачу можно решить для «удобной» пирамиды, а затем с помощью аффинного преобразования перенести результат на произвольную.
• 2) Решим задачу для пирамиды, у которой три плоских угла при вершине прямые. Поместим новую пирамиду в прямоугольную систему координат OXYZ (рис. 6).

3) Проведем медиану OO1 на одной из граней. O1A1и O1B1 — средние линии треугольника АОВ. Точка, такая что. Тогда координаты точки К (), или, учитывая, что A1 и B1 середины соответственно ОА и ОВ, К (). На другой грани проведем медиану OO2. На ней отметим точку М, такую чтоOM: MO2=3:1.Аналогично находим координаты М (или М. Наконец, точка N лежит на медианеOO3иON: NO3=2:1, тогда Nили N (0.

Анализируя, выберем сами удобные числовые координаты для точек А (40;0;0), В (0;15;0), С (0;0;24).

Плоскость (MNK) пересекает ребра пирамиды в неких точкахX`, Y`, Z`. Найдем сначала координаты точки X` (х; 0; 0). ТочкаX` (KMN), если существуют такие, что, допустим (это векторы). Запишем координаты векторов (15; -5; 1),(16; 1; -8), (х; -5; -8). Тогда имеет место следующая система уравнений. Решаем ее: умножим второе уравнение на 8, получим. Далее, сложив второе и третье, имеем. Откуда найдеми х.

Нам надо найти отношение. Значит, точка X` делит ребро ОА в отношении 12:1. Вычисления тоже приличные, но понятные. Аналогично можно найти отношения и для двух других сторон.

Решив задачу на «удобной» пирамиде, учитывая, что существует аффинное преобразование, переводящее эту пирамиду в произвольную, переносим результат на произвольную пирамиду.

Если бы в условии данной задачи была предложена «удобная» пирамида, наверное, кто-то из учеников сделал хотя бы попытки решить задачу. Метод аффинных преобразований позволяет трудные факты свести к легкому доказательству.

Метрические задачи в стереометрии

1. Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD, у которой SA = = AB = 1. К — центр грани SCD. Вычислить угол между прямыми AS и ВК. Решение: решим задачу векторно-координатным методом. Введем прямоугольную систему координат как показано на рисунке 7. Примем отрезок ОА за единичный.

2. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Из точки С опустить перпендикуляр на плоскость A1BD.

Решение: С1А1ВD — правильный тетраэдр (рис. 8), так как все его ребра являются диагоналями равных квадратов (граней куба). Построим его высоту С1К, учитывая, что точка К — это точка пересечения медиан треугольника, лежащего в основании тетраэдра. Полученная высота определит направление искомого перпендикуляра.

Прямая C1К перпендикулярна прямой А1N. Проведем через точку С прямую параллельно прямой С1К. Она пересечет прямую А1N в точке Н.

Прямая СН — искомый перпендикуляр.