Временные ряды. 
Элементы высшей математики

Временные (динамические) ряды представляют собой числовые данные, характеризующие исследуемые процессы и явления. В зависимости от порядка их регистрации ряды динамики являются дискретными или непрерывными.

Дискретные ряды получаются путем регистрации данных через определенные промежутки времени — через месяц, год и т. д.

Непрерывные ряды динамики получаются в случае непрерывной записи изменения явления.

На практике чаще всего встречаются дискретные представления исследуемых процессов. В этом случае ряд динамики можно представить в виде:

При анализе временных рядов пользуются статистическими показателями, определяющими характер и интенсивность количественных изменений явлений. К этим показателям относятся: уровень ряда, средний уровень, абсолютный прирост, темпы роста и прироста, автоковариация и автокорреляция.

Уровнем ряда (xj) является каждый член ряда динамики. Различают начальный (x₀), конечный (x_n) и средний (x^) уровни ряда. Уровень ряда, относительно которого предполагается рассматривать изменение процесса, выбирается в качестве базисного ^(x6⁾.

Абсолютный прирост (dj _б, dj) характеризует размер изменения исследуемого явления во времени и определяется разностью двух уровней. Абсолютные приросты могут быть базисными и цепными:

di б = xi — x6, di = xi — xi-1, (5.43).

где xi — уровень ряда в период i, x6 — уровень ряда в базисный период.

Темпом роста (kj _б, kj) является отношение двух уровней ряда динамики, выраженное в процентах. Различают базисные и цепные темпы роста:

K_i б = ^x -100%; K_i = -^x^ -100%. (5.44).

Темпом прироста (Тб, Tj) называется отношение абсолютного прироста к базисному или предыдущему уровню, выраженное в процентах:

T_i б = ^-100%; T_i = -4—100%. (5.45) ^x6 ^xi-1.

Темпы роста и прироста связаны следующим образом:

K_i = T_i + 100. (5.46).

Исследование рядов динамики в целях анализа и прогнозирования является довольно сложной проблемой, решение которой требует применения различных методов обработки и статистического анализа.

При статистическом подходе к исследованию и моделированию явлений особое место занимает корреляционный и регрессивный анализ. Применение корреляционного и регрессионного анализа требует соблюдения ряда известных условий этих методов.

Основной предпосылкой можно считать то, что изучаемая совокупность должна быть случайной выборкой из бесконечной генеральной совокупности; в этом случае анализ временных рядов принципиально ничем не отличается от анализа данных случайной выборки.

Кроме того, требуется выполнение условий независимости, случайности и нормального распределения данных наблюдений.

Следует отметить, что в результате корреляционного анализа рядов динамики, имеющих вполне определенные тенденции развития, получаются завышенные значения показателей корреляции (проблема ложной корреляции). Это объясняется тем, что в результате анализа сопоставляются не случайные колебания, а статистические совокупности особого рода — реализация детерминированных частей и случайных процессов.

Для исследования временных рядов и выявления причин их вариации вокруг определенного уровня используются методы теории случайных процессов.

При анализе временных рядов исходят из расчленения динамики процесса на три составляющие, которые связаны между собой аддитивно:

• 1). Тенденция (тренд) ^хтр (0, представляющая собой долговременное направление развития процесса.
• 2). Систематические периодические колебания g (t), связанные с влиянием сезонности или цикличности развития процесса.
• 3). Случайная составляющая z (t), которая является результатом влияния на динамику процесса случайных факторов.

Следует отметить, что не всегда ряды динамики состоят из всех рассмотренных компонент. Единственной составляющей, которая всегда встречается в рядах, является случайная составляющая z (t), но и она может быть только в сочетании с одной или обеими составляющими.

В результате ряд динамики представим в виде:

^{х (}0 = xpW + g (t) + z (t). ⁽⁵.⁴⁷⁾

Геометрическая интерпретация модели (5.47) ряда динамики представлена на рисунке 5.9.

Процедуру статистического анализа рядов динамики целесообразно подразделять на три компоненты:

• 1-я компонента — определение характеристик исследуемых рядов и их разложение на три составляющие;
• 2-я компонента — всесторонний анализ отдельных составляющих и разработка модели процесса;
• 3-я компонента — прогнозирование исследуемого ряда динамики на основе полученной модели.
• 1. Анализ тренда.

Важнейшей задачей анализа временных рядов является определение основной закономерности изменения изучаемого явления во времени. Обычно считают, что основная тенденция (тренд) есть результат влияния комплекса причин, действующих постоянно на изучаемый процесс в течение длительного периода, т. е. она характеризуется детерминированной составляющей временного ряда.

Для решения этой задачи применяются различные методы сглаживания, наиболее известным из которых является метод наименьших квадратов. Согласно МНК в качестве тренда выбирается кривая y = f (t), сумма квадратов расстояния от точек которой до уровней ряда xi (i = 1, 2… n) является минимальной.

Основной проблемой при определении тенденции с помощью МНК является выбор формы кривой f (t). Обычно для решения этой задачи анализируется набор статистических данных или сам процесс.

2. Исследование периодических колебаний.

Во временных рядах динамики наряду с основными долговременными тенденциями иногда проявляются более или менее регулярные колебания, связанные с цикличностью или сезонностью развития явления.

Для определения периодических колебаний следует прибегать к гармоническому анализу, в котором анализ рядов динамики производится при помощи линейных комбинаций функции времени — синусов и косинусов, причем коэффициенты линейных комбинаций рассматриваются как неизвестные параметры.

Как известно, любой ряд динамики можно с помощью преобразований Фурье представить суммой определенного числа гармоник. Но задача гармонического анализа состоит в определении только основных гармоник, содержащих главные закономерности развития процесса.

Общую задачу гармонического анализа — выявление периодичности процесса — можно сформулировать следующим образом. Допустим, что на конечном интервале (-L, L) задана функция x (t). Выдвигают гипотезу о том, что функция x (t) содержит периодическую компоненту g (t), так что.

^{x (t)} = g^(t) + ^{z (t) (5}.⁴⁸⁾

где z (t) — случайная функция с нормальным распределением.

Задача, по существу, сводится к аппроксимации процесса x (t) процессом y (t) определенным соотношением:

y (t) = A0 + ^ [^Ak — cos (®_kt) + B_k— sin ((c)_kt)], (5.49).

где неизвестные параметры Ak, Bk и ю определяются методом наименьших квадратов, минимизирующим функцию.

S[x (t) — y (t)]² ^ min. (5.50).

В результате получаем следующие оценки параметров:

A₀ = - Jx (t) dt, Ak = — - jx (t) — cos (2^kt/T)dt, (5.51).

Bk = — - J x (t) — sin (2 n kt/T) dt.

Введем амплитуду k-ой гармоники: Rk = д/(Л_к²+В_к²).

Тогда вклад каждой гармоники равен:

• — для нулевой и n-ой соответственно R0 и Rn,
• — для k-й — 2Rk².
• 3. Анализ случайного компонента.

При исследовании случайного компонента проводится его статистический анализ при помощи теории случайных процессов.