Зоны Бриллюэна и эффективная масса электрона

Продолжим анализ приближения слабой связи и изучим полученное дисперсионное соотношение для электрона в кристалле. Очевидно, что волновое число к может быть вещественным только при условии, что косинус в левой части соотношения находится в интервале от -1 до +1. Зависимость левой части соотношения от, а для характерного значения параметра р = 2 приведена на рис. 40.2. Заштрихованные участки соответствуют недопустимым значениям, а и, следовательно, запрещенным значениям энергии электрона в кристалле. Таким образом, наличие периодически меняющейся

Рис. 40.2.

потенциальной энергии дает результатом чередование разрешенных и запрещенных зон энергии для электрона в кристалле.

Анализ показывает, что зависимость E (k) претерпевает разрывы в точках, где.

Если р = 0 (U₀ = 0), то, а = k и имеет место параболическая зависимость полной энергии Е от волнового числа k

что соответствует свободному электрону. На рис. 40.3 представлены дисперсионные соотношения для свободного электрона (парабола) и электрона в кристалле (парабола с отклонениями). Области, соответствующие границам разрешенных зон кристалла, называются зонами Бриллюэна. Первой зоне Бриллюэна соответствует область -к/а < п < к/a, второй зоне Бриллюэна — две области к/a <�п< 2 к/a и -2 к/a <�п< -к/a и т. д.

Все вышесказанное следует из дисперсионного соотношения для электрона в кристалле, но может быть объяснено и рассмотрением электрона как волны, испытывающей дифракцию на кристаллической решетке. При дифракции нормально падающей волны формула Брэгга — Вульфа имеет вид.

Рис. 40.3.

№

Эта формула задает условие возникновения стоячей волны в кристалле. Она соответствует условию разрыва зависимости Е (к). Если же условие возникновения стоячей волны в кристалле не соблюдается, то волна является бегущей и ее дисперсионное соотношение Е (к) близко к дисперсион;

ному соотношению Е = —— для свободного электрона.

Дважды дифференцируя энергию свободного электрона по к, получим массу свободного электрона. Аналогично, дважды дифференцируя энергию электрона в кристалле по k, получим эффективную массу электрона. В соответствии с рис. 40.3 на границах зон Бриллюэна эта масса может на порядки отличаться от массы свободного электрона, а в ряде ситуаций даже быть отрицательной.