Построение математической модели линейного программирования

Рассмотрим пример построения математической модели линейного программирования Николай Кузнецов управляет небольшим механическим заводом. В будущем месяце он планирует изготавливать два продукта (А и В), по которым удельная маржинальная прибыль оценивается в 2500 и 3500 руб., соответственно. переменная линейное программирование маржинальный Изготовление обоих продуктов требует затрат на машинную обработку, сырье и труд (рис. 1). На изготовление каждой единицы продукта, А отводится 3 часа машинной обработки, 16 единиц сырья и 6 единиц труда. Соответствующие требования к единице продукта В составляют 10, 4 и 6. Николай прогнозирует, что в следующем месяце он может предоставить 330 часов машинной обработки, 400 единиц сырья и 240 единиц труда. Технология производственного процесса такова, что не менее 12 единиц продукта В необходимо изготавливать в каждый конкретный месяц.

Николай хочет построить модель с тем, чтобы определить количество единиц продуктов, А и В, которые он доложен производить в следующем месяце для максимизации маржинальной прибыли.

Линейная модель может быть построена в четыре этапа.

Этап 1. Определение переменных Существует целевая переменная (обозначим её Z), которую необходимо оптимизировать, то есть максимизировать или минимизировать (например, прибыль, выручка или расходы). Николай стремится максимизировать маржинальную прибыль, следовательно, целевая переменная:

Z — суммарная маржинальная прибыль (в рублях), полученная в следующем месяце в результате производства продуктов, А и В.

Существует ряд неизвестных искомых переменных (обозначим их х1, х2, х3 и пр.), чьи значения необходимо определить для получения оптимальной величины целевой функции, которая, в нашем случае является суммарной маржинальной прибылью. Эта маржинальная прибыль зависит от количества произведенных продуктов, А и В. Значения этих величин необходимо рассчитать, и поэтому они представляют собой искомые переменные в модели. Итак, обозначим:

х1 — количество единиц продукта А, произведенных в следующем месяце.

х2 — количество единиц продукта В, произведенных в следующем месяце.

Очень важно четко определить все переменные величины; особое внимание уделите единицам измерения и периоду времени, к которому относятся переменные.

Этап. 2. Построение целевой функции Целевая функция — это линейное уравнение, которое должно быть или максимизировано или минимизировано. Оно содержит целевую переменную, выраженную с помощью искомых переменных, то есть Z выраженную через х1, х2… в виде линейного уравнения.

В нашем примере каждый изготовленный продукт, А приносит 2500 руб. маржинальной прибыли, а при изготовлении х1 единиц продукта А, маржинальная прибыль составит 2500 * х1. Аналогично маржинальная прибыль от изготовления х2 единиц продукта В составит 3500 * х2. Таким образом, суммарная маржинальная прибыль, полученная в следующем месяце за счет производства х1 единиц продукта, А и х2 единиц продукта В, то есть, целевая переменная Z составит:

Z = 2500 * х1 + 3500 *х2.

Николай стремится максимизировать этот показатель. Таким образом, целевая функция в нашей модели:

Максимизировать функцию Этап. 3. Определение ограничений Ограничения — это система линейных уравнений и/или неравенств, которые ограничивают величины искомых переменных. Они математически отражают доступность ресурсов, технологические факторы, условия маркетинга и иные требования. Ограничения могут быть трех видов: «меньше или равно», «больше или равно», «строго равно».

В нашем примере для производства продуктов, А и В необходимо время машинной обработки, сырье и труд, и доступность этих ресурсов ограничена. Объемы производства этих двух продуктов (то есть значения х1 их2) будут, таким образом, ограничены тем, что количество ресурсов, необходимых в производственном процессе, не может превышать имеющееся в наличии. Рассмотрим ситуацию со временем машинной обработки. Изготовление каждой единицы продукта, А требует трех часов машинной обработки, и если изготовлено х1, единиц, то будет потрачено З * х1, часов этого ресурса. Изготовление каждой единицы продукта В требует 10 часов и, следовательно, если произведено х2 продуктов, то потребуется 10 * х2 часов. Таким образом, общий объем машинного времени, необходимого для производства х1 единиц продукта, А и х2 единиц продукта В, составляет 3 * х1 + 10 * х2. Это общее значение машинного времени не может превышать 330 часов. Математически это записывается следующим образом:

3 * х1 + 10 * х2? 330.

Аналогичные соображения применяются к сырью и труду, что позволяет записать еще два ограничения:

• 16 * х1 + 4 * х2? 400
• 6 * х1 + 6 * х2? 240

Наконец следует отметить, что существует условие, согласно которому должно быть изготовлено не менее 12 единиц продукта В: х2? 12.

Этап 4. Запись условий неотрицательности Искомые переменные не могут быть отрицательными числами, что необходимо записать в виде неравенств х1? 0 и х2? 0. В нашем примере второе условия является избыточным, так как выше было определено, что х2 не может быть меньше 12.

Полная модель линейного программирования для производственной задачи Николая может быть записана в виде:

Максимизировать При условии, что:

3 * х1 + 10 * х2? 330.

• 16 * х1 + 4 * х2? 400
• 6 * х1 + 6 * х2? 240

х2? 12.

х1? 0.

Рассмотрим графический метод решения задачи линейного программирования.

Этот метод подходит только для задач с двумя искомыми переменными. Модель, построенная выше, будет использована для демонстрации метода.

Оси на графике представляют собой две искомые переменные (рис. 2). Не имеет значения, какую переменную отложить вдоль, какой оси. Важно выбрать масштаб, который в конечном итоге позволит построить наглядную диаграмму. Поскольку обе переменные должны быть неотрицательными, рисуется только I-й квадрант.

Рассмотрим, например, первое ограничение:

3 * х1 + 10 * х2? 330.

Это неравенство описывает область, лежащую ниже прямой:

3 * х1 + 10 * х2 = 330.

Эта прямая пересекает ось х1 при значении х2 = 0, то есть уравнение выглядит так: 3 * х1 + 10 * 0 = 330, а его решение: х1 = 330 / 3 = 110.

Аналогично вычисляем точки пересечения с осями х1 и х2 для всех условий-ограничений:

Любая точка в пределах выделенного треугольника или на его границах будет соответствовать этому ограничению. Такие точки называются допустимыми, а точки за пределами треугольника называются недопустимыми.

Аналогично отражаем на графике остальные ограничения (рис. 4). Значения х1 и х2 на или внутри заштрихованной области ABCDE будут соответствовать всем ограничениям модели. Такая область называется областью допустимых решений.

Теперь в области допустимых решений необходимо определить значения х1 и х2, которые максимизируют Z. Для этого в уравнении целевой функции:

Z = 2500 * х1 + 3500 *х2.

разделим (или умножим) коэффициенты перед х1 и х2 на одно и тоже число, так чтобы получившиеся значения попали в диапазон, отражаемый на графике; в нашем случае такой диапазон — от 0 до 120; поэтому коэффициенты можно разделить на 100 (или 50):

Z = 25×1 + 35×2.

затем присвоим Z значение равное произведению коэффициентов перед х1 и х2 (25 * 35 = 875):

875 = 25×1 + 35×2.

и, наконец, найдем точки пересечения прямой с осями х1 и х2:

и, наконец, найдем точки пересечения прямой с осями х1 и х2:

Нанесем это целевое уравнение на график аналогично ограничениям (рис. 5):

Значение Z постоянно на всем протяжении линии целевой функции. Чтобы найти значения х1 и х2, которые максимизируют Z, нужно параллельно переносить линию целевой функции к такой точке в границах области допустимых решений, которая расположена на максимальном удалении от исходной линии целевой функции вверх и вправо, то есть к точке С.

Можно сделать вывод, что оптимальное решение будет находиться в одной из крайних точек области принятия решения. В какой именно, будет зависеть от угла наклона целевой функции и от того, какую задачу мы решаем: максимизации или минимизации. Таким образом, не обязательно чертить целевую функцию — все, что необходимо, это определить значения х1 и х2 в каждой из крайних точек путем считывания с диаграммы или путем решения соответствующей пары уравнений. Найденные значения х1 и х2 затем подставляются в целевую функцию для расчета соответствующей величины Z. Оптимальным решением является то, при котором получена максимальная величина Z при решении задачи максимизации, и минимальная — при решении задачи минимизации.

Определим, например значения х1 и х2 в точке С. Заметим, что точка С находится на пересечении линий: 3×1 + 10×2 = 330 и 6×1 + 6×2 = 240. Решение этой системы уравнений дает: х1 = 10, х2 = 30. Результаты расчета для всех вершин области допустимых решений приведены в таблице:

Таким образом, Николай Кузнецом должен запланировать на следующий месяц производство 10 изделий, А и 30 изделий В, что позволит ему получить маржинальную прибыль в размере 130 тыс. руб.